人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用 高考解答题专项一 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题.pptVIP

;;令m(x)=sinxcosx-x,x∈(0,π),则m(x)=cos2x-sin2x-1=cos2x-10,得m(x)在(0,π)上单调递减,m(x)m(0)=0.;方法点拨“分离参数法”解决不等式恒成立问题

“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法,其基本过程如下:

(1)已知含参数λ的不等式f(λx)≥0恒成立;

(2)将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ与变量x分离,可以将λ单独分离到不等式一边,也可以将只含有λ的一个代数式分离到不等式的一边;

(3)求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式而确定,可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等等;

(4)得出结论.若h(x)的最大值为M,则g(λ)≥M;若h(x)不存在最大值,其值域为(m,M)时,g(λ)≥M.;对点训练1(2021天津南开中学高三期中)已知函数f(x)=-lnx+2x-2.

(1)求与函数f(x)相切且斜率为1的直线方程;

(2)若g(x)=f(x)+ax+2,当x∈[1,e]时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.;考向2.“最值法”解决不等式恒成立问题

例2.(2021河南洛阳高三月考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=(x-1)ex-.

(1)若a=e,讨论函数f(x)的单调性;

(2)若f(x)≤3在(0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.;(2)函数f(x)的导数为f(x)=x(ex-a).

①若a≤1,则在(0,2]上,f(x)0恒成立,f(x)单调递增,

因此f(x)max=f(2)=e2-2a3,不合题意;

②若1ae2,令f(x)=0得x=lna,当x∈(0,lna)时,f(x)0,当x∈(lna,2]时,f(x)0,因此f(x)在(0,lna)上单调递减,在(lna,2]上单调递增,

又因为f(0)=-13,;方法点拨“最值法”解决不等式恒成立问题

在不等式恒成立问题中,如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求,可以把含参不等式整理成f(x,a)0或f(x,a)≥0的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围.

(1)如果f(x,a)有最小值g(a),则f(x,a)0恒成立?g(a)0,f(x,a)≥0恒成立?g(a)≥0;

(2)如果f(x,a)有最大值g(a),则f(x,a)0恒成立?g(a)0,f(x,a)≤0恒成立?g(a)≤0.;对点训练2(2021山东潍坊高三月考)已知函数f(x)=aln(x+1),a∈R.

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=3处的切线方程;

(2)若对任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥x-x2恒成立,求实数a的取值范围.;考向3.“同构法”解决不等式恒成立问题

例3.(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.;(1)当a=e时,f(x)=ex-lnx+1,f(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别;方法点拨“同构法”解决不等式恒成立问题

在不等式恒成立求参数的取值范围问题中,如果不等式中同时含有ex和lnx两种形式的函数,可以考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑,将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式,然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题,从而解决问题,这种解题方法通常称之为“同构”,同构的三种基本模式如下:;对点训练3(2021湖南永州高三第一次模拟)已知函数f(x)=aex+lna,

g(x)=ln(x+1)+1(其中a为常数,e是自然对数的底数).若函数y1=f(x)-lna在点A(0,a)处的切线为l1,函数y2=g(x-1)-1在点B(a,0)处的切线为l2.

(1)若l1∥l2,求直线l1和l2的方程;

(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.;解(1)根据题意可知,函数y1=f(x)-lna=aex在点A(0,a)处的切线为l1,函数y2=g(x-1)-1=lnx在点B(a,0)处的切线为l2.而y1=aex,y2=,又因为l1∥l2,所以a=.又因为a0,所以a=1.因为切线l1过点(0,1),斜率为k1=1;切线l2过点(1,0),斜率为k2=1,

所以l1为