2023—2024学年贵州省清镇市贵化中学高一下学期期末考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年贵州省清镇市贵化中学高一下学期期末考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.设，则（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★)2.下列说法错误的是（）

A．任一非零向量都可以平行移动

B．是单位向量，则

C．

D．若，则

(★)3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（）

A．15

B．18

C．27

D．30

(★★)4.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

(★★)6.已知，，且，则与的夹角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★)8.已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（）

A．外心、重心、垂心

B．重心、外心、垂心

C．重心、外心、内心

D．外心、重心、内心

二、多选题

(★)9.设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（）

A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限

B．复数的模

C．若，则或

D．若复数是纯虚数，则或

(★★★★)10.过大小为二面角内一点向半平面作，垂足为，向半平面作，垂足为，且，则下列说法正确的是（）

A．平面

B．的面积的最大值为

C．点到的距离为2

D．若二面角的半平面过直线，半平面过直线，则二面角的大小为

三、填空题

(★★)11.已知向量，则________.

(★★)12.若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是_________；中位数是_________．

(★★)13.长方形中，，沿对角线把平面折起，使平面平面，则折叠后的余弦值为______________．

(★★)14.已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为________.

(★★★)15.在一个棱长为4的正方体封闭容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则容器内小球不可能到达的容积为___________．

四、解答题

(★★)16.在中，已知在线段上，且，设．

(1)用向量表示；

(2)若，求．

(★★)17.如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．

(1)求证：平面．

(2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值．

(★★)18.记的内角的对边分别为，，，已知.

(1)求角的大小；

(2)设，，求的周长.

(★★★)19.如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面SAB⊥侧面SBC，M为AD的中点．

(1)求证：平面SMC⊥平面SBC；

(2)若AB与平面SBC成角时，求二面角的大小，

(★★★)20.阅读下面的两个材料：

材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为．这个公式称之为秦九韶公式；

材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式

请你解答下面的两个问题：

(1)已知的三条边为，，，求这个三角形的面积；

(2)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分）