01 面积问题：边角关系等积变换 - 共30题 (有答案) 29页.pdf

三角形的边角关系、面积问题和等积变换习题集

一．解答题（共30小题）

1．如图，四边形ABCD中，BC＞CD＞DA，O为AB中点，且∠AOD∠COB60°，

求证：CD+AD＞BC．

2．将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记

（a，b，c）为三边的长分别为a，b，c，且满足a≤b≤c的一个三角形．

（1）就n4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）．

（2）有人根据（1）中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4）时，对

应（a，b，c）的个数一定是n﹣3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n12时所有

的（a，b，c），并回答（a，b，c）的个数．

（3）试将n12时所有满足题意的（a，b，c），按照至少两种不同的标准进行分类．

3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB﹣AD与CD﹣

CB的大小关系，并证明你的结论．

解：结论：_________

证明：

4．已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．

5．如图所示，六边形ABCDEF中，ABBCCDDEEFFA，并且∠A+∠C+∠E∠B+∠D+∠F，

求证：∠A∠D，∠B∠E，∠C∠F．

6．如图，△ABC中，∠C为锐角，AD，BE分别是BC和AC边上的高线，设CDBC，CEAC，

当m，n为正整数时，试判断△ABC的形状，并说明理由．

7．如图，是由9个等边三角形（三条边都相等的三角形）组成的装饰图案，已知中间最小的

等边三角形（阴影部分）边长为1cm，现欲将此图案的周边镶上一根彩线，问彩线至少需要多

长？

8．如图，在△ABC中，APQPQBBC，ABAC．求∠A的度数．

9．将长为2n（n为自然数且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）

为三边长分别是a，b，c且满足a＜b＜c的一个三角形，就n6的情况，分别写出所有满足题

意的（a，b，c）．

10．一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三

边的长．

222

11．设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a+b+c﹣ab﹣ac﹣bc13，求符合条

件且周长不超过30的三角形的个数．

12．（2012•贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称

为这个平面图形的一条面积等分线．

（1）三角形有_________条面积等分线，平行四边形有_________条面积等分线；

（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；

3ABCDABCDABCDSSA

（）如图②，四边形中，与不平行，≠，且△ABC＜△ACD，过点

画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．

13．点E在凸四边形ABCD内部．每个三角形EAB，EBC，ECD的边长都是整数，周长与面

积数值上相等，这三个面积互不相同．△EDA的最大面积是什么？

14．如图是一张“3×5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的

长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同．

（1）能否分成5张满足上述条件的纸片？

（2）能否分成6张满足上述条件的纸片？

若能分，用“a×b”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说

明理由．

15．如图中，△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积之和等于六边形ABCDEF

的面积．又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的．求六边形

ABCDEF的面积与六边形ABCDEF的面积之比．

111111

16．（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形（分得的正方形大

小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形？

（2）试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体（要求：不重