2025届新高考数学热点精准复习函数的单调性与最值.pptxVIP

2025届新高考数学热点精准复习

函数的单调性与最值

——请必须要有自信，你就是一道风景，没必要在别人风景里面仰视。

·考试要求·

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．

2．理解函数的单调性与最值的作用和实际意义．

核心回扣

1．增函数与减函数

注意点：

单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1x2(或x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．

2．单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上____________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．

注意点：

(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．

(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域．

(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.

单调递增或单调递减

(4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为__________________．

5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是________．

(－∞，5]∪[20，＋∞)．

[－1，1]和[5，7]

(2)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．

(－∞，1]

√

确定函数单调性的常用方法

定义法

先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论

图象法

若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性

性质法

对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断

导数法

先求导，再确定导数的正负，由导数的正负得函数的单调性

复合法

对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断

√

考向2解函数不等式

【例3】(1)已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()

A．[－2，2] B．[－1，1]

C．[0，4] D．[1，3]

D

√

核心回扣

函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足

条件

∀x∈D，都有__________；∃x0∈D，使得___________

∀x∈D，都有__________；∃x0∈D，使得___________

结论

M为最大值

M为最小值

注意点：

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取得．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值．

f(x)≤M

f(x0)＝M

f(x)≥M

f(x0)＝M

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