2023—2024学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期期末数学试卷.docVIP

2023—2024学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期期末数学试卷

一、填空题

(★★)1.__________．

(★★)2.设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______.

(★★)3.7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有__________种．

(★★★)4.设，则函数的极大值点为__________．

(★★★)5.设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为______.

(★★★)6.设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为______.

二、单选题

(★★)7.设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（）．

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为R，给出下面两个条件：是严格减函数且恒成立；是严格增函数且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中正确的是（）．

A．只有是

B．只有是

C．和都是

D．和都不是

三、解答题

(★★★)9.设，其中n是正整数，a为正实数．

(1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项；

(2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）．

(★★★★★)10.如图所示（省略y轴），设P是函数图像上的一点，是曲线在点P处的切线．若存在点P和，使得曲线在P、处的切线相互垂直，则称曲线上存在以P、为端点的直角弯，简称直角弯．

(1)设，，横坐标为的点P是曲线上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标；

(2)设，，试问曲线上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大．设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、，社员想用（记作①）或（记作②）其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”．请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定（将①或②填在答题纸相应位置，无需说明理由）；

(4)设，，“平均弯曲率”如（3）中定义，求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值．