2023年南京金陵中学高二下数学期中试卷和参考答案.docx

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2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下册期中考试

一．选择题（共8小题,每小题5分，共40分）

1．已知集合，则集合的子集个数为

A．3 B．4 C．8 D．16

2．复数，在复平面内对应的点分别为，，则

A． B． C． D．

3．函数在，上的图像大致为

A． B．

C． D．

4．西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积为球缺所在球的半径，为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为，壶口直径为（如图，则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，取

A． B． C． D．

5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为

A． B．2 C． D．

6．公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则

A．81 B．63 C．41 D．32

7．，则

A． B．1 C． D．

8．已知（e是自然对数的底数），则

A． B． C． D．

二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9．下列说法中正确的是

A．已知随机变量服从二项分布，则

B．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件

C．已知随机变量的方差为，则

D．已知随机变量服从正态分布且，则

10．已知圆过点，，直线平分圆的面积，过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，，则

A．圆心的坐标为

B．圆的方程为

C．的取值范围为，

D．当时，弦的长为

11．已知函数的图象关于直线对称，则

A．的最小正周期为

B．在上单调递增

C．的图象关于点对称

D．若，且在，上无极值点，则的最小值为

12．已知函数，的零点分别为，，则

A． B． C． D．

三．填空题（共4小题）

13．的展开式中，常数项为（用数字作答）．

14．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是合格品的概率为．

15．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱、的中点，是侧面内一点（含边界），若平面，点的轨迹长度为

16．若过点，有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是．

四．解答题（共6小题）

17．已知为等差数列的前项和，，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前10项和．

18．某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在，的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在，的加盟店评定为“五星级”加盟店．

（1）根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到；

（2）若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；

（3）该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级“加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．

参考数据：若，则，，．

19．的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求；

（2）的角平分线与的角平分线相交于点，，，求和．

20．如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．

（Ⅰ）求证：为的中点；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

21．已知椭圆的左、右顶点分别为，．直线与相切，且与圆交于，两点，在的左侧．

（1）若直线的斜率，求原点O到直线的距离；

（2）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．

22．已知函数

（1）求曲线在处的切线的方程，并证明除了切点以外，曲线都在直线的上方；

（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．

2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下册期中考试

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知集合，则集合的子集个数为

A．3 B．4 C．8 D．16

【解答】解：集合，1，，

集合的子集个数为．

故选：．

2．复数，在复平面内对应的点分别为，，则

A． B． C． D．

【解答】解：由复数的几何意义可知，，，

则．

故选：．

3．函数在，上的图像大致为

A． B．

C． D．

【解答】解：根据题意，函数，

在，上，，

有且，函数既不是奇函数也不是偶函数，排除，

，排除，

故选：．

4．西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺