用空间向量研究线、面位置关系及距离-高考数学复习.pptx

用空间向量研究线、面位置关系及距离

1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和

平行关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的一些简单

定理.4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平

行的平面的距离问题.

目录CONTENTS123知识逐点夯实课时跟踪检测考点分类突破

PART1知识逐点夯实必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与

直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a

为平面α的法向量.

2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向

量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2（k∈R）l1⊥l2n1⊥n2?＝0n1·n2

位置关系向量表示直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?（k∈R）平面α，β的法向量分

别为n，mα∥βn∥m?n＝km（k∈R）α⊥βn⊥m?n·m＝0n＝km

?

??（3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平

面的距离.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线的方向向量是唯一确定的. （×）（2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平

面平行. （×）（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. （√）?××√×

2.已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的

方向向量，若l1∥l2，则（）A.x＝6，y＝15C.x＝3，y＝15?

3.已知平面α内有两点M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一

个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝（）A.4B.3C.2D.1?

4.在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C

（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为（）A.3

?

??AB∥α或AB?α

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

【例1】（2023·新高考Ⅰ卷18题节选）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.证明：B2C2∥A2D2.用空间向量证明平行关系

?

解题技法利用空间向量证明平行关系的方法和步骤（1）要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说

明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上；（2）要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某

一法向量垂直，或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量

平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内；（3）要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，

再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内（也可转

化为证明线面平行、线线平行）.

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别

是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN.

?

?

【例2】如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD

∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：平面DEA⊥平面

ECA.用空间向量证明垂直关系

?

?

解题技法利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤（1）要证明线线垂直，需证明两直线的方向向量互相垂直，即证它

们的数量积为零；（2）要证明线面垂直，需证明直线的方向向量与平面的法向量共

线，或先通过向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理

证明；（3）要证明面面垂直，需证明两个平面的法向量垂直.

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD

＝DC，E，F分别是A