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第六章6.5傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数四、以2l为周期的函数的傅里叶展开机动目录上页下页返回结束

问题的提出：非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加

一、三角级数三角函数系的正交性1.三角级数三角级数2.三角函数系的正交性三角函数系：

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在上的积分不等于0.

二、函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,是什么?2.展开的条件是什么?1.傅里叶系数

①②由公式②确定的称为函数的傅里叶系数;以的傅里叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶级数.傅里叶目录上页下页返回结束

傅里叶级数问题:

定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2?的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.x为连续点x为间断点为f(x)的傅里叶系数.(证明略)其中简介目录上页下页返回结束

傅里叶(Fourier)级数周期函数的傅里叶级数解题程序:(1)画出f(x)的图形,并验证是否满足狄氏条件(画图目的:验证狄氏条件;由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2)求出傅里叶系数;并注明它在何处收敛于f(x).(3)写出傅里叶级数,

例1.设f(x)是周期为2?的周期函数,它在上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:先求傅里叶系数机动目录上页下页返回结束

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说明:1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.机动目录上页下页返回结束

注对于非周期函数,如果f(x)只在区间上有定义,并且满足狄利克雷充分条件,也可展成傅里叶级数.作法(1)f(x)在上有定义;(周期延拓);(3)F(x)可展为傅氏级数;级数收敛于

例3.将函数级数.展成傅里叶解:将f(x)延拓成以2?为周期的函数F(x),则机动目录上页下页返回结束

说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=0时,f(0)=0,得机动目录上页下页返回结束

三、正弦级数和余弦级数由奇函数与偶函数的积分性质和傅里叶系数的公式,易得下面的结论.它的傅里叶系数为此时称傅里叶级数为正弦级数,

它的傅里叶系数为此时称傅里叶级数为余弦级数,将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数是否有奇偶性,是非常有用的.

函数展成正弦级数与余弦级数奇延拓偶延拓周期延拓F(x)周期延拓F(x)f(x)在[0,?]上展成余弦级数f(x)在[0,?]上展成正弦级数机动目录上页下页返回结束

例2.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,机动目录上页下页返回结束

因此得注意:在端点x=0,?,级数的和为0,与给定函数f(x)=x+1的值不同.机动目录上页下页返回结束

再求余弦级数.将作偶周期延拓,则有机动目录上页下页返回结束

四、周期为2l的周期函数的傅里叶级数周期为2l函数f(x)变量代换周期为2?函数F(z)将F(z)作傅里叶展开f(x)的傅里叶展开式机动目录上页下页返回结束

定理5.设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中机动目录上页下页返回结束

变成证明:令,则则令所以定理条件,将它展成傅里叶级数:且它满足收敛是以2?为周期的周期函数,(在F(z)的连续点处)机动目录上页下页返回结束

其中令(在f(x)的连续点处)证毕机动目录上页下页返回结束

说明:(1)如果f(x)为奇函数,则有(在f(x)的连续点处)其中(2)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于机动目录上页下页返回结束

内容小结1.周期为2?的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则级数收敛于机动目录上页下页返回结束

2.周期为2?的奇、偶函数的傅里叶级数?奇函数?偶函数正弦级数余弦级数3.在[0,?]上函数的傅里叶展开法?作奇周期延拓,展开为正弦级数?作偶周期延拓,展开为余弦级数机动目录上页下页返回结束

4.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x?间断点)其中(余弦)当f(x