函数零点问题-高考数学复习.pptx

函数零点问题

利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值

式等结构的函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路：

（1）可转化为利用导数研究其函数的图象与x轴（或直线y＝k）在

该区间上的交点问题；（2）证明有几个零点时，利用导数研究函数

的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值

（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函

数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f（a）·f（b）＜0.

?数形结合法研究函数的零点解：由f（x）＝0，得xex＝a（x≠0）.设h（x）＝xex（x≠0），得h（x）＝（x＋1）ex，令h（x）＞0得x＞－1且x≠0，令h（x）＜0，得x＜－1，所以h（x）在（－1，0）和（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减，

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解题技法在借助函数图象研究函数零点问题时，要准确画出函数的图象，

不仅要研究函数的单调性与极值的情况，还要关注函数值的正负以及

变化趋势，把函数图象与x轴有无交点，哪一区间在x轴上方，哪一

区间在x轴下方等情况分析清楚，这样才能准确地研究直线与图象交

点的个数情况.

若函数f（x）＝ex（x2－2x＋1－a）－x恒有2个零点，求a的取

值范围.?

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【例2】已知函数h（x）＝x2＋4－4（xsinx＋cosx），试证明h

（x）在R上有且仅有三个零点.函数性质法研究函数的零点证明：h（x）＝x2＋4－4xsinx－4cosx，∵h（－x）＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h（x），∴h（x）为偶函数.又∵h（0）＝0，∴x＝0为函数h（x）的零点.下面讨论h（x）在（0，＋∞）上的零点个数.

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解题技法利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶

性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中

可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.

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?构造函数法研究函数的零点

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解题技法涉及函数的零点（方程的根）问题，主要利用导数确定函数的单

调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以

及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.

已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2lnx，若方程f（x）＝g

（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.?

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2.已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（a≥1）.（1）证明：函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减；?1234

（2）当a＝1时，证明：函数f（x）只有一个零点.?1234

所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，也是最大值，即为

f（1）＝ln1－12＋1＝0，当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，所以函数f（x）只有

一个零点.1234

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所以f（x）max＝f（1）＝0，即f（x）＝x－ex－1≤0，①变形得x≤ex－1，当x＞0时，对x≤ex－1两边同时取自然对

数，得lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.所以lnx－x＋1≤0.②①＋②，得f（x）＋lnx－x＋1≤0.?1234

（2）讨论函数f（x）的零点个数.?1234

?1234

4.（2024·武汉模拟）已知函数f（x）＝ax与g（x）＝logax（a＞

0，且a≠1）.（1）求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；?1234

（2）若a＞1，h（x）＝f（x）－g（x）恰有两个零点，求实数

a的取值范围.?1234

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