不等式的证明问题-高考数学复习.pptx

不等式的证明问题

在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函

数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数

研究函数的单调性或最值问题.

【例1】设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，求证：当

a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.作差构造法证明：因为f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，所以f（x）＝ex－

2，令f（x）＝0，则x＝ln2，所以x∈（－∞，ln2）时，f（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（ln2，＋∞）时，f（x）＞0，f（x）单调递增.设g（x）＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.

于是g（x）＝ex－2x＋2a，x∈R.当a＞ln2－1时，g（x）的最小值为g（ln2）＝2（1－ln2＋

a）＞0.于是对任意x∈R，都有g（x）＞0，所以g（x）在R上是增函

数.于是当a＞ln2－1时，对任意x∈（0，＋∞），都有g（x）＞g

（0）.又g（0）＝0，从而对任意x∈（0，＋∞），g（x）＞0.即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.

解题技法1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左

减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性

质证明不等式.2.利用作差构造法证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数g（x）；（3）利用导数研究g（x）的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.

??

2.求证：ex＋sinx＋cosx≥2x＋2.?

所以当x＜0时，t（x）＞0，即h（x）＞0，故h（x）在（－∞，

0）上单调递增，当x＞0时，t（x）＜0，即h（x）＜0，故h（x）在（0，＋∞）

上单调递减，所以h（x）max＝h（0）＝1，即h（x）≤1恒成立，即ex＋sinx＋cosx≥2x＋2成立.

?构造双函数法?

?

解题技法若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造

两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.

已知函数f（x）＝elnx－ax（a∈R）.（1）讨论函数f（x）的单调性；?

（2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0.?

?

?适当放缩法

?所以m（x）min＝m（1）＝0，即m（x）≥0，所以xlnx≥x－1，f（x）＞2g（x）－1得证.

?

?

??

??

??

课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习

??1234

?∴f（x）的单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，＋∞）.1234

（2）求证：当x＞0时，f（x）≤x－1.?1234

2.已知函数f（x）＝x2－lnx.（1）求f（x）的单调区间；?1234

?1234

??1234

?1234

3.设函数f（x）＝ax2－（x＋1）lnx，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处切线的斜率为0.（1）求a的值；?1234

??1234

??1234

4.已知函数f（x）＝ax－sinx.（1）若函数f（x）为增函数，求实数a的取值范围；解：因为f（x）＝ax－sinx，所以f（x）＝a－cosx，由函数f（x）为增函数，得f（x）＝a－cosx≥0恒成立，即a≥cosx在R上恒成立，因为y＝cosx∈[－1，1]，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞）.1234

（2）求证：当x＞0时，ex＞2sinx.解：证明：由（1）知，当a＝1时，f（x）＝x－sinx

为增函数，当x＞0时，由f（x）＞f（0）＝0，得x＞sinx，要证当x＞0时，ex＞2sinx，即证当x＞0时，ex＞2x，即证ex－2x＞0在（0，＋∞）上恒成立，设g（x）＝ex－2x（x＞0），则g（x）＝ex－2，令g（x）＝0，得x