不等式中的恒（能）成立问题-高考数学复习.pptx

不等式中的恒（能）成立问题

用导数解决不等式恒（能）成立问题的常用方法有分离参数法、

等价转化法、拆解法等，其解题思路是构造新函数分类讨论，将不等

式恒（能）成立问题转化为函数的最值问题处理.

?分离参数法求参数范围（1）当a＝0时，求f（x）的极值；?

x（0，2）2（2，＋∞）f（x）－0＋f（x）↘极小值↗所以f（x）的极小值为f（2）＝1＋ln2，无极大值.

（2）若对任意的x∈[1，e2]，f（x）≤0恒成立，求实数a的取

值范围.?

?

解题技法分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其

变量分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需

a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.

若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x

0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，

求参数的范围.

已知f（x）＝2xlnx，g（x）＝－x2＋ax－3，若存在x∈（0，

＋∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围.?

所以当x∈（0，1）时，h（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，

＋∞）时，h（x）＞0，h（x）单调递增，所以当x＝1时，h（x）取得最小值h（1）＝4，所以a≥4.故实数a

的取值范围为[4，＋∞）.

【例2】设函数f（x）＝（1－x2）ex.等价转化法求参数范围（1）讨论f（x）的单调性；?

（2）若x≥0时，f（x）≤ax＋1恒成立，求实数a的取值范围.解：令g（x）＝f（x）－ax－1＝（1－x2）ex－（ax＋1），则g（x）＝（1－x2－2x）ex－a.令x＝0，可得g（0）＝0.令h（x）＝（1－x2－2x）ex－a，则h（x）＝－（x2＋4x＋1）ex，当x≥0时，h（x）＜0，则h（x）在[0，＋∞）上单调递减，故当x≥0时，h（x）≤h（0）＝1－a，即当x≥0时，g（x）

≤1－a.

要使f（x）－ax－1≤0对x≥0恒成立，只需1－a≤0，即a

≥1，此时g（x）≤g（0）＝0（x≥0），故a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞）.

解题技法1.含参不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问

题，如f（x）≥a恒成立，则f（x）min≥a，然后利用最值确定参

数满足的不等式，解不等式即得参数范围.2.含参不等式f（x）≥a（g（x）≤b）能成立问题等价于不等式有

解问题，从而进一步转化为f（x）max≥a（g（x）min≤b）成

立，求参数.

已知函数f（x）＝－ax2＋lnx（a∈R），若存在x∈（1，＋∞），

f（x）＞－a，求a的取值范围.解：由f（x）＞－a，得a（x2－1）－lnx＜0，x∈（1，＋

∞），又－lnx＜0，x2－1＞0，所以当a≤0时，a（x2－1）－lnx＜

0，满足题意；令g（x）＝a（x2－1）－lnx（x＞1），

?

?（1）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）－g（x2）≥M成立，

求满足上述条件的最大整数M；拆解法求解双变量的恒（能）成立问题

?

列表如下：xg（x）－0＋g（x）↘极小值↗?

??

?

?x1（1，2）h（x）＋0－h（x）↗极大值↘所以a≥h（x）max＝h（1）＝1，故实数a的取值范围是[1，

＋∞）.?

解题技法“双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求参数，进行等价变

换，常见的拆解转换有：（1）?x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）max；（2）?x1∈D1，?x2∈D2，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g

（x）min；（3）