2025年中考数学高频考点专题练习——二次函数与特殊三角形问题.docx

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2025年中考数学高频考点专题练习

二次函数与特殊三角形问题

一、解答题

1．如图，抛物线交轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C．

(1)若，

①求抛物线的解析式；

②若点为轴上一点，点为抛物线上一点，是以为斜边的等腰直角三角形，求出点的坐标；

(2)若直线与抛物线交于点(点在对称轴左侧)，直线交轴于点，直线交轴于点．试说明点是线段的中点．

2．如图1所示，已知抛物线的顶点为，与轴交于、两点，与轴交于点，为对称轴上的一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转90°后，点的对应点恰好落在轴上.

（1）直接写出点和点的坐标；

（2）点为直线与已知抛物线的一个交点，点是抛物线上与之间的一个动点，若过点作直线与轴平行，且与直线交于点，设点的横坐标为，那么当为何值时，？

（3）图2所示的抛物线是由向右平移1个单位后得到的，点在抛物线上，点是抛物线上与之间的任意一点，在线段上是否存在一点，使是等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求点A的坐标；

(2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为，△AEO的面积为，求的最大值及此时点D的坐标；

(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线的顶点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．

4．如图，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线轴于点D，作直线交于点E．已知抛物线的顶点P坐标为．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点A、B的坐标和直线的解析式；

(3)求当线段时m的值；

(4)连接，过点P作直线交y轴于点F，试探究：在点P运动过程中是否存在m，使得，若存在直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

5．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．

(1)求a、b满足的关系式及c的值；

(2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使．

①求点P的坐标；

②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线经过点A(5,0)，B(-3,0),C(0,4).

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）过C作CD∥x轴交抛物线于D,连续BC、AD,两个动点P、Q分别从A、B两点同时出发,都以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段AB向B点运动，点Q沿着折线B→C→D的路线向D点运动.设这两个动点运动的时间为（秒)(0＜＜7)，△PQB的面积记为S.

①求S与的函数关系式；

②当为何值时，S有最大值，最大值是多少？

③是否存在这样的值，使得△PQB是直角三角形?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.

7．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．

(1)求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；

(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．）如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，抛物线的对称轴为直线，点是二次函数图象的顶点．

(1)求二次函数解析式；

(2)若将二次函数的顶点向右平移个单位后得到．在点的平移过程中，是否存在一个合适的位置，使是一个以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，是轴下方线段上一点，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为点，平行线交直线于点．当面积最大时，在轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标，并直接写出点的坐标和的最大值．

9．已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；

(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线