2025年中考数学专题复习：二次函数综合（特殊三角形问题）.docx

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2025年中考数学专题复习：

二次函数综合（特殊三角形问题）

1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，且以A，B，C为顶点组成的三角形是等边三角形．

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2，若点F在线段上，且，经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点P，与线段交于点E，求的最大值．

2．若抛物线交x轴于交y轴于

(1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集．

(2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标．

(3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值．

3．综合与探究：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点B0,3，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）．

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标；

(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标．

4．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且．

(1)求直线和直线的解析式；

(2)点P是线段上一点，点D是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点G，过点P作轴于点E，于点F．当与的乘积最大时，在线段上找一点H（不与点A，点B重合），使的值最小，求点H的坐标和的最小值；

(3)如图2，直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是t（），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点，点；当是直角三角形时，求t的值．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为．

(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；

(2)若，求此时点的坐标；

(3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为A?2,0．

(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

(2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由．

7．如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标；

(3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

8．在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且为等腰直角三角形．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；

(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

9．如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)求线段长度的最大值；

(3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．

10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；

(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，抛物线??经过坐标原点O，且顶点为，

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线与x轴正半轴的交点为，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接、，若求点的坐标．

(3)抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

12．如图，