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中考数学二次函数压轴题之等腰三角

形的存在性问题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4过点A（﹣2，0），B

（4，0），x轴上有一动点P（t，0），过点P且垂直于x轴的直线与直线BC

及抛物线分别交于点D，E，连接CE，AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时（不与点O，B重合），若△CDE与△ABC

相似，求t的值；

（3）当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使△CDE是等腰三角形？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：

（1）用抛物线交点表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

将点C（0,4）代入表达式可得：﹣8a＝4，解得a＝﹣1/2，

故抛物线的表达式为：y＝﹣1/2x2+x+4，

（2）由题意得：AB＝6，AC＝2√5，BC＝4√2，

∵PE∥y轴，

∴∠OCB＝∠OBC＝∠PDB＝∠CDE＝45°，

故只存在△CDE∽△ABC和△CDE∽△CBA两种情况，

OB＝OC＝4，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，

点P（t，0），则点E（t，﹣1/2t2+t+4）、D（t，﹣t+4），CD＝xD/sin45°

＝√2t，

①当△CDE∽△ABC时，

则CD/AB=ED/CB，

即√2t/6=（﹣1/2t2+2t）/4√2，

解得：t＝0或4/3（舍去0）；

②当△CDE∽△CBA时，

则CD/CB=ED/AB，

即√2t/4√2=（﹣1/2t2+2t）/6，

解得：t＝0或1（舍去0）；

故t＝1或4/3；

（3）点P（t，0），则点E（t，﹣1/2t2+t+4）、D（t，﹣t+4），

①当CD＝DE时，

即：√2t＝﹣1/2t2+2t，

解得：t＝4-2√2或0（舍去0）；

②当CD＝CE时，

同理可得：t＝0或4（全部舍去）；

③当DE＝CE时，

同理可得：t＝0或2（舍去0）；

当点P移动到点B的右侧时，D，E的上下位置发生了变化，

同理可得：点P（4+2√2，0）；

故点P的坐标为（4-2√2，0）或（2，0）或（4+2√2，0）．

【总结】

1、熟练掌握抛物线的三种表达形式；（一般式、交点式、顶点式）

2、熟练掌握相似三角形的判定条件；（两边对应成比例且夹角相等这条非常重

要）

3、在图形的运动变化过程中一定要抓住特殊的点或位置，学会用数形结合，分

类讨论的数学思想去解决数学问题；

4、两点之间的距离公式一定要会用，知道平面内两个点的坐标求线段长度！