2023—2024学年贵州省学校卓越联盟发展计划项目高一下学期期中考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年贵州省学校卓越联盟发展计划项目高一下学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.在中，若，则是（）

A．

B．或

C．或

D．

(★★)2.已知复数，则（）

A．

B．1

C．

D．2

(★★)3.若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（）

A．内存在与平行的直线

B．内所有直线都与异面

C．与有公共交点

D．内所有直线都与相交

(★★)4.已知向量满足，且，则与的夹角为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.如图，在中，已知，则为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.已知，则下列说法正确的是（）

A．．

B．．

C．在复平面内对应的点位于实轴上，则．

D．在复平面内的点在直线上．

(★★★)10.在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（）

A．

B．

C．

D．与的面积之比为

(★★★)11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（）

A．不存在点，使四点共面

B．存在点，使平面

C．三棱锥的体积是定值

D．经过四点的球的表面积为

三、填空题

(★★★)12.已知复数，且，则__________．

(★★)13.贵州中天201大厦是贵阳标志性建筑之一，又名为“芦笙楼”．它是以贵州少数民族芦笙为原型设计，外形造型看上去就像是用很多微型大楼“拼接”起来的一样，而这一部分其实具有相当先进的建筑工艺，采用的是筒式悬挂结构，目前是世界上最高的筒式悬挂建筑．某数学兴趣小组成员为测量中天201大厦的高度，在与楼底位于同一水平面上的两处进行测量，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，则中天201大厦的高度为__________米．

(★★★★)14.在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________．

四、解答题

(★★★)15.已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足，

(1)求复数；

(2)求复数的模长．

(★★★)16.已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角，

(1)求证三点共线．

(2)设，若的最小值是，求锐角的值．

(★★★)17.如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点．

(1)求证：平面．

(2)求三棱锥的体积．

(★★★)18.在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中为的面积）．

问题：在中，角的对边分别为，满足：__________．

(1)求角的大小；

(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围．

(★★★★)19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：

(1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；

(2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点．

（i）若，求；

（ii）求的最小值．