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数学参考答案第PAGE4页(共NUMPAGES7页)
北京市东城区2021—2022学年度第二学期高三综合练习(二)
数学参考答案及评分标准2022.5
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
(1)C (2)A (3)A (4)B(5)D
(6)C (7)B (8)B (9)A(10)D
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
(11)(12)
(13)(14)(答案不唯一)
(15)=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④
三、解答题(共6小题,共85分)
(16)(共13分)A
A
P
D
C
B
M
O
解:(Ⅰ)在中,因为,
所以.
所以,即.
因为,所以.
所以.………………6分
(Ⅱ)选择条件=2\*GB3②:
在中,,
解得.
所以.
解得.
在中,因为,
所以.………………13分
选择条件=3\*GB3③:
在中,因为,,
所以.
在中,
=.
在中,可得.………………13分
(17)(共13分)
解:(Ⅰ)由图可知,从2011年到2021年这11年中,2011年、2015年和2019年男生的视
力平均值高于上一年男生的视力平均值.
因此,从2011年到2021年中随机选取1年,该年男生的视力平均值高于上一年男
生的视力平均值的概率为.………………3分
(Ⅱ)在这12年中,2010年、2011年、2014年、2018年女生的视力平均值不低于当年
男生的视力平均值.
X的所有可能取值为0,1,2.
,
,
,
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的数学期望E(X)=.………………11分
(Ⅲ)这200名学生的视力平均值从2017年开始连续三年的方差最小.………13分
(18)(共14分)
解:(Ⅰ)直线,证明如下:APDC
A
P
D
C
B
M
O
A
P
D
C
B
M
O
因为D,O分别为PA,AC中点,
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
因为平面,平面平面,
所以.………………5分
(Ⅱ)连结.
因为,为中点,
所以.
因为平面平面,
所以.
所以.
因为,所以.
如图,建立空间直角坐标系,
则,,,.
因为点D为PA中点,所以.
所以,.
设为平面的法向量,
则即
令,则,,可得.
设直线与平面所成角为?,
因为,
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.………………14分
(19)(共15分)
解:函数的定义域为.
(Ⅰ)当时,,.
所以,.
所以曲线在点处的切线方程为.…………5分
(Ⅱ)当时,由有,故曲线在轴的上方.
当时,.
令得或(舍去).
当变化时,,变化情况如下:
+
↘
↗
当,即时,在区间上单调递增,
则,
即曲线在轴的上方.
当,即时,
在区间上单调递减,在区间上单调递增,
则.
由时,曲线在轴的上方,
有,解得.
所以.
综上,实数的取值范围为.……15分
(20)(共15分)
解:(Ⅰ)由题设,知解得,.
故椭圆的方程为.………………5分
(Ⅱ)由题设知直线的斜率存在,设直线的方程为.
由消去,得.
由及,
解得的取值范围为.
设,则,.
直线,令,得,
点.
同理,点.
由题设知,,.
因为
,
所以,且与同号.
依题意,得,且点位于轴同侧.
因为,
所以.………………15分
(21)(共15分)
解:(Ⅰ)由于,
可得.
.
所以.……………4分
(Ⅱ).
因为列为数列,所以.
对于数列中相邻的两项,
令.
若,则;若,则.
记中有个,个,则.
因为与的奇偶性相同,而与的奇偶性不同,
因此不存在符合题意的数列.……………9分
(Ⅲ)首先证明.
对于数列,有.
.
.
因为,
,
所以.
所以.
其次,由数列为数列知,解得.
这说明数列中的任意相邻的两项不同的情况有2次,
也就是数列中所有的相邻,所有的也相邻.
若数列中的个数为m个,此时数列有n个,
所以数列的个数共有个.………………15分
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