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基于APOS理论的二次函数概念教学设计

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杨灵娥丘文斯

【摘要】概念教学是数学教学中常用的教学方式之一，但如何开展概念教学，使学生不仅能理解概念的生成过程，还能形成对概念的抽象理解并将其运用是很多教师感到困扰的问题。本文以“二次函数”的概念教学为例，运用APOS理论进行教学设计，使学生体验二次函数的推理过程并形成抽象理解，希望为数学概念教学提供参考和借鉴。

【关键词】APOS理论;二次函数;概念教学

G633.6?A?1671-8437（2021）16-0033-02

美国教育家、数学家杜宾斯基基于传统的概念教学模式和学生数学学习特点提出了APOS理论，把概念教学分为四个阶段，即活动阶段、程序阶段、对象阶段、图式阶段。教师基于APOS理论开展概念教学，能够创新概念教学模式，把教学的重心转移到概念生成过程中，使学生能更好地认识概念的二重属性[1]。

因此，本文尝试基于APOS理论进行二次函数概念教学设计，让学生了解二次函数概念的推理过程，并能够把二次函数抽象成对象进行理解和运用。以下是基于APOS理论的二次函数概念教学设计。

1??活动阶段

在活动阶段，教师需要创设合适的情境，为学生提供理解概念的背景，使学生通过适当的操作活动体会数学概念的背景，并理解数学概念产生的原因和意义，即在活动阶段通过引导学生自主操作，使学生体会数学概念的形成过程[2]。

【教学设计】

教师引导学生回顾常量与变量、函数的概念及其表示方法，并提出三个问题，创设二次函数概念的教学情境：

问题1：正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的关系怎样表示？

问题2：某广告公司要设计一个周长为20米的矩形广告牌，设矩形广告牌的一边长为x米，面积为S，则S与x间的关系如何表示？

问题3：某工厂2018年某种产品的产量为20吨，该产品产量的年平均增长率为x，设2020年该产品的产量为y，则y与x的关系应该怎样表示？

学生经过思考，不难解决上述三个问题：①y=6x2;②S=x（10?x）;③y=20（1+x）2。

教师追问学生：上述三个问题得到的结果是否能构成函数？有哪些变量？其中自变量是什么？若能构成函数，它们在结构上存在什么相同之处？

【设计意图】

教师通过创设具体情境，使学生感受现实生活与二次函数概念间的关系，为学生理解二次函数的概念提供知识背景。学生通过分析和解决问题能够发现，存在一种陌生的函数且自变量的最高次数为2，但学生还无法抽象出二次函数的概念。

2??程序阶段

在程序阶段，学生经历了对概念的操作过程，可以把在这一过程中形成的经验和材料作为思维对象，进行思考和建构，并抽象出概念。在這个阶段，学生不再需要依靠提示或辅助条件学习概念，而是可以内化、抽象、反思活动阶段的经验，掌握概念的所有属性[3]。

【教学设计】

问题1：请同学们观察以下三个函数，从解析式看有什么共同点与不同点。①y=6x2;②S=x（10?x）=?x2+10x;③y=20（1+x）2=20x2+40x+20。

通过观察，学生不难发现，上述函数的解析式中未知数的最高次数都为2，且每一个解析式都存在未知数的最高次数为2的一项。不同点在于，三个解析式中，有些含有一次项和常数项，有的没有。

随后教师引导学生讨论，在这一类函数中最重要的、不可缺少的是哪一项。学生不难发现，含有未知数的最高次数为2的一项是三个解析式中共同存在的，因此它是这一类函数中十分重要且不可缺少的一项。接着，教师引导学生回顾一次函数的概念及其一般形式，尝试说出二次函数的一般形式及二次函数的概念。在得出二次函数的概念后，教师通过类比一次函数解析式中k≠0的要求和一次项的概念，引导学生理解二次函数解析式中a≠0的要求，以及二次项、一次项和常数项等概念。

【设计意图】

教师设置问题引导学生思考活动阶段例子的本质特征，学生通过小组讨论归纳出二次函数的共同特征，并把这些共同特征与一次函数类比，形成二次函数的一般形式，并在教师的引导下抽象出二次函数的概念。在这一阶段，学生通过活动阶段积累的知识体验，能够抽象出二次函数的概念和一般形式。

3??对象阶段

在对象阶段，学生已经理解了概念的全部属性，并能将概念抽象为一个整体进行理解和应用，即学生能够把概念作为独立的对象，完成相关的数学运算。在这一阶段，教师需要通过设置各种类型的题目训练学生对概念的抽象和运用能力，使学生能理解概念的对象属性。

【教学设计】

问题1：下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？①y=+3x2;②y=x2?x3+25;③y=2x2+2x;④s=1+t+5t2。

问题2：下列函数中，哪些是二次函数？分别指出二次函数中的二次项、一次项和常数项。①y=?x2;②y=

x+;③y=x（1?x）;④y=（x+3）2?x2;⑤