2023—2024学年四川省成都市石室中学高一竞赛班下学期4月月考数学试卷.docVIP

2023—2024学年四川省成都市石室中学高一竞赛班下学期4月月考数学试卷

一、单选题

(★)1.若，，则复数等于（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)2.的值等于()

A．

B．

C．1

D．2

(★★)3.已知向量满足，，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.在中，角的对边分别为，若，则（）

A．

B．2

C．

D．

(★★★)5.直三棱柱中，，P为BC中点，，Q为上一点，，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）

A．

B．4

C．

D．5

(★★★)6.在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（）

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

(★★★)7.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，若，则的值是

A．

B．2

C．

D．3

(★★★)8.已知，则的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.已知，则下列说法正确的是（）

A．z在复平面内对应的点的坐标为

B．

C．z在复平面内对应的点与点关于原点对称

D．

(★★★)10.已知向量，，则下列命题正确的是（）

A．若，则

B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为

C．若与共线，则为或

D．存在，使得

(★★★)11.在中，角的对边分别是，若，，则（）

A．

B．

C．

D．的面积为

(★★★★)12.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）

A．存在点M使得

B．四棱锥外接球的表面积为

C．直线PC与直线AD所成角为

D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是

三、填空题

(★★)13.一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_______．

(★★)14.若函数为偶函数，则_______.

(★★★)15.已知函数在上的值域为，则的取值范围为__________．

(★★★)16.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积．若，且，则面积的最大值为_____________．

四、解答题

(★★)17.已知向量．

(1)若向量，求向量与向量的夹角的大小；

(2)若向量，求向量在向量方向上的投影向量的坐标．

(★★)18.已知函数．

(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；

(2)求函数在区间上的最大值、最小值．

(★★★)19.如图：在四棱锥中，已知底面是菱形且，侧棱，为线段上的中点，为线段上的定点.

（1）求证：平面；

（2）若，，，且直线平面，求三棱锥的体积.

(★★★★)20.如图，四边形中，，，设.

（1）若面积是面积的4倍，求；

（2）若，求.

(★★★)21.已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足，且．

(1)求；

(2)若点，分别在边和上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．

(★★★)22.已知函数，其中.

(1)若存在，使得，求的最小值；

(2)令，若关于的方程有两个根，求当时，实数的取值范围.