用空间向量研究夹角问题-高考数学复习.pptx

用空间向量研究夹角问题

能用向量方法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问

题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题

中的作用.

目录CONTENTS123知识逐点夯实课时跟踪检测考点分类突破

PART1知识逐点夯实必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.异面直线所成角若异面直线l1，l2所成的角为θ，a，b分别是直线l1，l2的方向向

量，则cosθ＝｜cos＜a，b＞｜＝?.提醒两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角

的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值.?

2.直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为

平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sinθ＝｜cos＜a，n＞｜

＝?.??

3.平面与平面的夹角?

?

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.

（×）（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所

成的角. （×）（3）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.

（×）×××

2.已知直线l1的方向向量s1＝（1，0，1），直线l2的方向向量s2＝

（－1，2，－2），则l1和l2夹角的余弦值为（）?

3.已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，

且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值

等于?.解析：如图，建立空间直角坐标系.??

?

???

5.已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），

则两平面所成的二面角的大小为?.?45°或135°

最小角定理如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的

射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为

OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ

＝cosθ1cosθ2.

已知AO为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射

影，直线OC在平面α内，且∠AOB＝∠BOC＝45°，则∠AOC的大小

为（）A.30°B.45°C.60°D.90°?

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

【例1】（1）（2021·全国乙卷5题）在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（D）异面直线所成的角

?

（2）有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相

垂直，则异面直线AB与CD所成角的正弦值为?.解析：设等边三角形的边长为2.取BC的

中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD

所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两

垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在

直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空?

?

解题技法用向量法求异面直线所成角的步骤

1.如图，已知以O为圆心，2为半径的圆在平面α上，若PO⊥α，且

PO＝4，OA，OB为圆O的半径，且∠AOB＝90°，M为AB的中

点，则异面直线OB与PM所成角的余弦值为?.?

?

??

?

【例2】（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，

A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离

为1.直线与平面所成的角

（1）证明：A1C＝AC；解：证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，

垂足为D，∵A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1C

⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC?平