2023—2024学年北京市清华大学附属中学高二下学期期末数学试卷.docVIP

2023—2024学年北京市清华大学附属中学高二下学期期末数学试卷

一、单选题

(★)1.设集合，，则集合（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★★)3.已知向量，，若，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（）

A．

B．6

C．8

D．10

(★★)5.设，若，则（）

A．80

B．40

C．

D．

(★★)6.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（）

A．5

B．6

C．7

D．8

(★★★)7.已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)8.设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（）

A．

B．3

C．8

D．9

(★★★)9.将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)10.边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

(★★★)11.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________.

(★★★)12.设函数，若的最小值为，则的值为______.

(★★★)13.已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________.

(★★)14.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则____________.

(★★★★★)15.平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论：

①函数在无数个点处的曲率为1；

②函数的曲率恒为；

③函数的曲率半径随着变大而变大；

④若函数在与（）处的曲率半径相同，则.

其中，所有正确结论的序号是_____________.

三、解答题

(★★★)16.在五面体中，平面，平面.

(1)求证：；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

(★★★)17.已知函数，其中，，若在上单调递减，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.

(1)求，的值；

(2)当时，函数恰有一个零点，求的取值范围.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(★★★)18.为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；

(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；

(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华