函数中的构造问题-高考数学复习.pptx

函数中的构造问题

高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而

是给出函数f（x）及其导数满足的条件，这就需要根据条件构造函

数，研究所构造函数的单调性等性质，进而解决问题.

导数型构造函数技法1利用f（x）与xn构造【例1】已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f（x），且满足f

（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf（x），则使得f（x）＞0成立

的x的取值范围是?.（－1，0）∪（0，1）

?

?

技法2利用f（x）与ex构造【例2】（多选）已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，

导函数f（x）满足f（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A.f（2）＜e2f（0）B.f（2）＞e2f（0）C.e2f（－1）＞f（1）D.e2f（－1）＜f（1）

?

?

?a＜b

?

?

1.（2024·佛山模拟）函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任

意x∈R，f（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（）A.（－1，1）B.（－1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－∞，＋∞）解析：令g（x）＝f（x）－2x－4，则g（x）＝f（x）－2＞

0，∴g（x）为R上的增函数，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－

1）－4＝0.∴f（x）＞2x＋4等价于g（x）＞g（－1）＝0，解得

x＞－1.

?

?

3.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（x）＞0，且有f

（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为?.解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F（x）＝f（x）·ex＋f（x）·e

x＝ex[f（x）＋f（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.又f（3）

＝3，则F（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·e

x＞3e3，即F（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为

（3，＋∞）.（3，＋∞）

?3利用变量构造具体函数

?

解题技法若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置

于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解.

?A.α＞βB.α2＞β2C.α＜βD.α＋β＞0

?

?c＜a＜b通过数值构造具体函数

?

解题技法当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的

共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数

值，然后利用函数的单调性比较大小.

?A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b?

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?A.{x｜－1＜x＜1}B.{x｜x＜－1}C.{x｜x＜－1或x＞1}D.{x｜x＞1}123456789101112131415

?123456789101112131415

?A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜a＜cD.c＜b＜a?123456789101112131415

3.设函数f（x）是奇函数f（x）（x≠0）的导函数，f（－1）＝－

1.当x＞0时，f（x）＞1，则使得f（x）＞x成立的x的取值范围是

（）A.（－∞，－1）∪（0，1）B.（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.（－1，0）∪（0，1）123456789101112131415

解析：由f（x）＞1（x＞0），可得f（x）－1＞0，令g（x）

＝f（x）－x，则g（x）＝f（x）－1＞0，故g（x）在（0，＋

∞）上单调递增.因为f（－1）＝－1，所以g（－1）＝f（－1）＋

1＝0，又因为f（x）为奇函数，所以g（x）＝f（x）－x为奇函

数，所以g（1