人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明.pptVIP

第七章第四节直接证明与间接证明

内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破

课标解读衍生考点核心素养1.掌握直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.掌握间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程和特点.1.综合法证明2.分析法证明3.反证法1.逻辑推理2.数学运算

强基础固本增分

1.直接证明方法综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论?从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止?证明思路由因导果执果索因证明流程P?Q1→Q1?Q2→…→Qn?QQ?P1→P1?P2→…→得到一个明显成立的条件文字表达因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……成立充分

微点拨分析法是执果索因,实际上是寻找使结论成立的充分条件;综合法是由因导果,就是寻找已知的必要条件.

2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出,因此说明假设错误,从而证明_________的证明方法.?(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.微点拨用反证法证题时,首先否定结论,否定结论就是找出结论的反面的情况,然后推出矛盾,矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.不成立矛盾原命题成立

研考点精准突破

考点一综合法证明例1已知a0,b0,a2+b2=2.证明:(1)(a+b)(a3+b3)≥4;(2)a2b+b2a≤2.

=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时取等号.(2)由题意可知,2=a2+b2≥2ab0,∴0ab≤1(当且仅当a=b=1时取等号).①∴0a+b≤2(当且仅当a=b=1时取等号).②①×②可得a2b+b2a≤2.

规律方法1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.

对点训练1在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求证:5a=3b.证明:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为sinB≠0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,得a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以5a=3b.

考点二分析法证明例2已知a,b,c,d都是正数.

规律方法1.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.3.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.

对点训练2已知a,b∈R,可以得出:根据上述不等式,写出一个更一般的结论,并加以证明.

解:一般性结论为:已知a,b∈R,m,n均为正数,若m+n=1,则ma2+nb2≥(ma+nb)2.证明:要证ma2+nb2≥(ma+nb)2,即证ma2+nb2≥m2a2+n2b2+2mnab,即证m(1-m)a2+n(1-n)b2-2mnab≥0,因为m+n=1,所以即证mn(a2+b2-2ab)=mn(a-b)2≥0,因为m,n为正数,(a-b)2≥0,所以mn(a-b)2≥0显然成立,所以原结论成立.

考点三反证法例3已知a0,b0,且a+b=,求证:a2+a2与b2+b2不可能同时成立.

规律方法反证法证明问题的一般步骤反设假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)归谬将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾