2025年中考数学一轮专题复习：二次函数综合（特殊三角形问题）.docx

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2025年中考数学专题复习：

二次函数综合（特殊三角形问题）

1．在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点．

(1)求过点三点的抛物线的解析式；

(2)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标．

2．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．

(1)求二次函数的表达式及点坐标；

(2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；

(3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．

3．如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，点是抛物线上的一动点．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．求面积的最大值；

(3)如图，当点在直线上方的抛物线时，过点P作y轴的平行线交直线于点E．点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；

(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由．

5．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形．

(1)求此二次函数的解析式．

(2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积．

(3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围．

(4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值．

6．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标；

(3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

7．抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于C，且

(1)求A，B的坐标；

(2)若D到A，B，C距离相等，求点P，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形．

8．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于、，与轴交于点，其顶点为点．

(1)求点坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)连接、，动点的坐标为．为抛物线上的一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线（）与轴交于、两点．

(1)求抛物线表达式；

(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标；

(3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．

10．抛物线交轴于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标；

(3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值．

11．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C．

(1)试求二次函数与一次函数的表达式．

(2)连接，试求四边形的面积．

(3)假设点P是二次函数对称轴上一动点，点Q是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

12．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．

??

(1)直接写出b，c的值；

(2)如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，且点恰好落在直线上，求点的坐标；

(3)若点M是的中点，以点，，，为顶点的四边形的面积为．

①求S与m的函数解析式；

②根据S的不同取值，结合图象，直