2025年中考数学一轮专题复习:二次函数综合(特殊三角形问题).docx

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2025年中考数学专题复习:

二次函数综合(特殊三角形问题)

1.在平面直角坐标系中,为原点,直线与轴交于点,与直线交于点,点关于原点的对称点为点.

(1)求过点三点的抛物线的解析式;

(2)为抛物线上一点,它关于原点的对称点为.当四边形为菱形时,求点的坐标.

2.已知二次函数的图象与轴的交于、两点,与轴交于点.

(1)求二次函数的表达式及点坐标;

(2)是二次函数图象上位于第三象限内的点,求面积的最大值及此时点的坐标;

(3)是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点.使以为顶点的四边形是平行四边形?若有,请求出点的坐标.

3.如图,抛物线与x轴交于A、两点,与y轴交于点,点是抛物线上的一动点.

(1)求该抛物线所对应的函数解析式;

(2)如图,当点在直线上方的抛物线时,过点P作y轴的平行线交直线于点E.求面积的最大值;

(3)如图,当点在直线上方的抛物线时,过点P作y轴的平行线交直线于点E.点M是平面直角坐标系内一点,是否存在点P,使得以点B,E,P,M为顶点的四边形是菱形,若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.

4.如图1,抛物线交x轴于点和点,交轴于点.

(1)求抛物线的表达式;

(2)若点是直线下方抛物线上动点,连接,,当的面积最大时,求点的坐标及面积的最大值;

(3)在(2)的条件下,若点是直线上的动点,在平面内,是否存在点,使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出符合条件的所有点的坐标,若不存在,请说明理由.

5.在平面直角坐标系中,二次函数(为常数)经过点和点,点是抛物线上一动点,其横坐标为,过点作轴垂线交直线于点,分别作点关于轴的对称点,构造矩形.

(1)求此二次函数的解析式.

(2)当抛物线顶点落在矩形的边上时,求矩形的面积.

(3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时,求的取值范围.

(4)抛物线在矩形内部(包括边界)的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时,直接写出的值.

6.如图1,抛物线与直线相交于点B和C,点B在x轴上,点C在y轴上,抛物线与x轴的另一个交点为A.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图2,将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D,在直线上有一点P,求周长的最小值及此时点P的坐标;

(3)如图3,将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线,在新抛物线上有一点N,在x轴上有一点M,试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形?若存在,写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

7.抛物线与x轴交于A,B,与y轴交于C,且

(1)求A,B的坐标;

(2)若D到A,B,C距离相等,求点P,使P,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形.

8.如图,在平面直角坐标系中,是坐标原点,抛物线与轴交于、,与轴交于点,其顶点为点.

(1)求点坐标;

(2)求抛物线的解析式;

(3)连接、,动点的坐标为.为抛物线上的一点,是否存在以,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点,的坐标;若不存在,请说明理由.

9.如图,抛物线()与轴交于、两点.

(1)求抛物线表达式;

(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点,连接、,求面积最大值及此时点的坐标;

(3)若点是轴上的动点,点是抛物线上的动点,是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标:若不存在,请说明理由.

10.抛物线交轴于点,,与轴交于点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图(1),连接,是抛物线第四象限内一点,直线交于,交轴于点,若,求点坐标;

(3)如图(2),经过第四象限的直线交抛物线于点,,交轴于点,作平行四边形,连接,若轴,当点到距离的最大时,求的值.

11.如图,二次函数图象顶点坐标为,一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点,同时相交于x正半轴上点C.

(1)试求二次函数与一次函数的表达式.

(2)连接,试求四边形的面积.

(3)假设点P是二次函数对称轴上一动点,点Q是平面直角坐标系中任意一点,是否存在这样的点P及点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

12.在平面直角坐标系中,抛物线(b,c是常数)与x轴交于,两点,与y轴交于点C,点P为x轴上方抛物线上的动点(不与点C重合),设点P的横坐标为m.

??

(1)直接写出b,c的值;

(2)如图,连接,将线段绕点逆时针旋转得线段,且点恰好落在直线上,求点的坐标;

(3)若点M是的中点,以点,,,为顶点的四边形的面积为.

①求S与m的函数解析式;

②根据S的不同取值,结合图象,直

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