2025年中考数学专题复习：二次函数与最值.docx

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2025年中考数学专题复习：二次函数与最值

1．已知二次函数（a为常数）．

(1)若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．

(2)若二次函数在时有最大值3，求a的值．

2．二次函数的图象经过，两点．

(1)当时，判断与的大小．

(2)当时，求的取值范围．

(3)若此函数图象还经过点，且b满足时，求的取值范围．

3．已知二次函数（），记该函数在上的最大值为，最小值为．已知．

(1)当时，求的值．

(2)当，时，求的值．

(3)已知，（为整数），若为整数，求的值．

4．如图，已知二次函数的图象经过点．

(1)求的值和二次函数图象的顶点坐标．

(2)已知点在该二次函数图象上．

①当时，求的值；

②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值．

5．已知二次函数．

(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）．

(2)点在该二次函数图象上，其中．

①当时，求的取值范围．

②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差．

6．某企业对某种产品进行市场调研后发现：如果月产量为（吨），那么所需的所有费用（万元）与之间满足关系式，若在需求旺季投入市场，则能全部售出，且在甲、乙两地的售价（万元/吨）与的函数关系分别为（为常数），已知在乙地销售吨该产品时的最大月利润为35万元．（月利润月销售额所有费用）

(1)求在甲地销售吨该产品时的最大月利润，并求出此时的值．

(2)求的值．

(3)由于受经济环境、资金、生产能力等多种因素的影响，计划某个月生产和销售该产品18吨，通过计算来比较，要获得较大利润，销售地应该选择甲地还是乙地？

7．如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点，过点作轴交抛物线于点．若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．点在线段的下方．

(1)求与的值．

(2)求线段的最大值．

(3)作点关于直线的对称点，连结，．若，求的坐标．

8．如图，已知抛物线（为常数）经过点，点与点关于原点对称，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），与轴相交于点．

(1)求该抛物线的函数解析式及点，，的坐标．

(2)连接，抛物线上点在线段上方，其横坐标为，过点作轴于点，交线段于点．

①当为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？

②当线段取最大值时，连接，，在抛物线上是否存在点（点不与点重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

9．近几年，随着网络的发展，“网络直播”已成为商家销售商品的一种手段．某商家在直播间销售一种进价为每件16元的商品时，经过市场调查发现，该商品每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售单价x／元

…

25

26

27

…

每天销售数量y／件

…

150

140

130

…

设销售这种商品每天的利润为W（元）

(1)求每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)要使每天销售的利润W达到1280元，求该商品的销售单价；

(3)当销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件时，求W的最大值．

10．已知抛物线．

(1)如图，当抛物线经过点时，

①求抛物线的解析式；

②如果是抛物线上两点(点在点的左侧)，且两点之间的水平距离为，请求出这两点纵坐标之和的最大值；

(2)当二次函数的自变量x满足时，函数有最大值为，求的值．

11．二次函数如图所示，与轴交于，，，点是抛物线上点与点之间一动点．

??

(1)求出二次函数解析式；

(2)当点坐标为多少时，的面积有最大值，并求出最大值．

12．如图，已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，且与x轴交于A，B两点，C为第四象限抛物线上一动点，连接，作轴于D，设C点横坐标为m．

??

(1)求A、B两点坐标；

(2)求的最大值；

(3)当时，

①在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标；

②M是抛物线对称轴上一动点，在①的条件下，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

13．抛物线过，两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．

??

(1)求抛物线的解析式及D点坐标；

(2)在直线下方的抛物线上存在点P，使的面积最大，求出最大面积；

(3)当时，函数的最小值为5，求t的值．

14．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与于点，已知抛物线经过A、两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点在抛物线上，且与的面积相等，直接写出点的坐标为________；

(3)如图，点是在直线上方