模块应力弯曲的强度和刚度计算梁横截面上的正应力郑兰.pptx

;学习目标：

一、掌握截面的几何性质

二、理解梁横截面上的正应力分布规律

三、掌握梁横截面上的正应力计算公式及在使用条件下的实际应用;与截面图形形状及尺寸有关的几何量统称为截面的几何性质。根据截面尺寸经过一系列运算可得一些几何数据，如面积矩、惯性矩等。

。

;（一）面积矩;2、面积矩与形心

将上式代入平面图形的形心坐标公式，得

ｙｃ＝Sｚ/Ａ

ｚｃ＝Sｙ/Ａ

或改写为

Sｚ＝Ａ·ｙｃ

Sｙ＝Ａ·ｚｃ;

3、组合截面面积矩的计算

工程结构中有些构件的截面是由几个简单图形组成的，如工字形、T形和槽形等。这类截面称为组合截面。由面积矩的定义可知，组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和，即

;【例7-1】T形截面如图7-2所示，图中各部分尺寸单位为m。试求阴影部分面积对通过形心且与对称轴ｙ垂直的ｚ0轴的面积矩。

解：

（1）求T形截面形心位置。;（2）计算阴影部分面积对ｚ0轴的面积矩。

Ａ1＝0.072m2Ａ3＝0.2×（0.197－0.12）＝0.0154（m2）

ｙ1＝－（0.197－0.06）＝－0.137（m）

ｙ3＝－（0.197－0.12）/2＝－0.04（m）

Sｚ＝∑Sｚ0i＝∑Ａiｙi＝Ａ1ｙ1＋Ａ3ｙ3

＝－（0.072×0.137＋0.0154×0.04）

＝－1.05×10－2（m3）;（二）惯性矩;【例7-2】求圆截面对其圆心的极惯性矩。

解：如图7-4所示，设圆截面直径为D。

dＡ＝2πρdρ

对于外径为D、内径为d的空心圆截面（见图7-5），

;2、惯性矩

在图7-3中，微面积dＡ到两坐标轴的距离分别为ｙ和ｚ，将乘积ｙ2dＡ和ｚ2dＡ分别称为微面积dＡ对ｚ轴和ｙ轴的惯性矩。而把积分

Ｉｚ＝∫Ａｙ2·dＡ

Ｉｙ＝∫Ａｚ2·dＡ

称为图形对ｚ轴和ｙ轴的惯性矩。

图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。由图7-3的几何关系可得

ρ2＝ｙ2＋ｚ2;将上述关系式代入???式得

Ｉρ＝∫Ａρ2dＡ＝∫Ａ（ｙ2＋ｚ2）dＡ

＝∫Ａｙ2dＡ＋∫Ａｚ2dＡ

即Ｉρ＝Ｉｚ＋Ｉｙ;二、试验观察与分析;根据上面所观察到的现象，推测梁的内部变形，可作出如下的假设和推断：

(1)平面假设。

(2)单向受力假设。

从上部各层纤维缩短到下部各层纤维伸长的连续变化中，中间必有一层长度不变的过渡层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，见图c。中性轴将横截面分为受压和受拉两个区域。;三、正应力计算公式

纯弯曲梁横截面上任一点处正应力的计算公式为：

σ＝Ｍｚｙ/Ｉｚ(9-1)

;四、正应力公式的使用条件

(1）适用条件是：①纯弯曲梁；

②梁的最大正应力不超过材料的比例极限。

(2)横力弯曲是平面弯曲中最常见的情况。

(3)对于横截面为其他对称形状的梁，在发生平面弯曲时，均适用。;【例9-1】简支梁受均布荷载q作用，如图9-7所示。试求：①截面D上a、b、c三点处正应力；②此截面上的最大正应力σmax；③画出截面D上的正应力分布图。

;解：（1）作梁受力图,求支座约束力。

FA=FB=5.25(kN)

（2）求截面D的弯矩。

M=FA×1－q×1×1/2

=5.25×1－3.5×1×1/2=3.5(kN·m)

（3）计算截面D上a、b、c三点的正应力。截面对中性轴的惯性矩为

Iz=bh3/12=1/12×120×1803=58.3×10