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非线性振动的研究对象、方法及发展简史

在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体

的往复运动或状态的循环变化，这类现象称为振荡。例如大海的波涛

起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和

萧条等形形色色的现象，都具有明显的振荡特性。振动是一种特殊的

振荡，即平衡位置附近微小或有限的振荡。如声波和超声波、工程技

术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。从

最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不

存在振动现象。有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利

用振动。尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和统

一的数学表达形式。因此有可能建立统一的理论来进行研究，即振动

力学。振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，

以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。它应用数

学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规

律，为解决与振动有关的实际问题提供理论依据。

根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论

和非线性振动理论。线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹

性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系

数常微分方程；不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线

性系统的振动理论就是非线性振动理论。线性振动理论是对振动现象

的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够

准确地反映振动的客观规律。频率、振幅、相位、激励、响应、模态

等，都是在线性理论中建立起来的基本概念。

实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、

万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，

非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。因此，

工程实际中的振动系统绝大多数都是非线性系统。由于非线性微分方

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程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十

分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，

但仅限于一定的范围。当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果

不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振动、多频响应、超谐和

亚谐振动、内共振、跳跃现象和同步现象等实际现象作出解释。上述

各种实际现象在现代工程技术中愈来愈频繁地出现，早在1940年美国

塔可马(Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故就是典型的非线性

振动引起破坏的例子。因此有必要发展非线性振动理论，研究对非线

性系统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的物理本质，以分析

和解决工程技术中实际的非线性振动问题。

参数振动是一种特殊的振动形式，它的数学模型不一定是非线性

微分方程，也可能是线性的，但系数不是常数，而是时间的周期函数，

因此不属于线性振动理论的研究范围，也作为非线性振动的组成部分。

非线性振动理论研究的目的是基于非线性振动系统的数学模型，

在不同参数和初始条件下，确定系统运动的定性特征和定量规律。非

线性振动的数学模型通常是非线性微分方程。与线性微分方程不同，

非线性微分方程尚无普遍有效的求解方法。因此与线性振动系统相比，

非线性振动系统很难得到精确的解析解。对于工程中的实际非线性振

动问题，除采用实验方法进行研究以外，常用的理论研究方法可区分

为：几何方法、数值方法和解析方法。

几何方法是对非线性振动作定性分析的方法。经典的几何方法是

利用相平面