（2）函数与导数——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编.docx

（2）函数与导数

——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编

一、选择题

1．[2024届·黑龙江齐齐哈尔·一模]已知为奇函数，则()

A. B.2 C.1 D.

2．[2024届·长沙市第一中学·模拟考试]若函数在区间上不单调，则a的取值范围是()

A. B. C. D.

3．[2024届·山西长治·一模校考]研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长x(月)与肿瘤细胞含量的关系，其函数解析式为，其中，，a为参数.经过测算，发现(e为自然对数的底数).记表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的，那么b的值为()

A. B. C. D.

4．[2024届·天津宝坻区·模拟考试校考]已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为()

A. B.

C. D.

5．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数，，当时，曲线和恰有一个交点.则()

A.-1 B. C.1 D.2

6．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数，若，则的最小值为()

A. B. C. D.1

7．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是()

A. B. C. D.

8．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]设函数，则()

A.是的极小值点 B.当时，

C.当时， D.当时，

10．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]设函数，则()

A.当时，有三个零点

B.当时，是的极大值点

C.存在a，b，使得为曲线的对称轴

D.存在a，使得点为曲线的对称中心

三、填空题

11．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________.

12．[2024届·南宁三中·二模]若直线与曲线相切，则的取值范围为______.

四、解答题

13．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知函数.

（1）若，且，求a的最小值；

（2）证明：曲线是中心对称图形；

（3）若当且仅当，求b的取值范围.

14．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.

15．[2024届·山东临沂·二模]已知函数.

(1)当时，求证：存在唯一的极大值点，且；

(2)若存在两个零点，记较小的零点为，t是关于x的方程的根，证明：.

参考答案

1．答案：A

解析：当时，，所以，

通过对比系数得.

故选：A.

2．答案：B

解析：因为函数在上单调递减，在上单调递增．

又函数在区间上不单调，所以，

故选：B．

3．答案：D

解析：依题意，，而，则，即，

又，解得，所以.

故选：D.

4．答案：A

解析：由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C，

由图可知，函数的定义城不是实数集.故排除B；

5．答案：D

解析：由题意知，则，即.令.易知为偶函数，由题意知在上有唯一零点，所以，即，得，故选D.

6．答案：C

解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C.

7．答案：B

解析：因为当时，，所以，.对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B.

8．答案：B

解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B.

9．答案：ACD

解析：因为，所以，令，解得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以A正确.

当时，，即，又函数在上单调递增，所以，所以B错误.

当时，，函数在上单调递减，所以，所以C正确.

当时，，所以，所以D正确.

综上，选ACD.

10．答案：AD

解析：由题可知，.

对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；

对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；

对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.

解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.

11．答案：

解析：由题，令，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.令，则，设直线与曲线相切于点，则，得，则，所以，所以.

12．答案：

解析：函数的导数为，