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上海市长征中学2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试卷
考试时长：120分钟卷面总分：150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为______．
2.已知两点，以为直径的圆的标准方程为__________.
3.已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______．
4.直线与直线平行，则______．
5.两条直线，夹角的大小是______．（结果用反余弦函数值表示）
6.若直线和直线垂直，则______．
7.在双曲线中，的取值范围是______．
8.双曲线焦点坐标是______．
9.经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________.
10.已知两条直线、，其中，当这两条直线夹角在内变化时，a的取值范围为______．
11.若，椭圆与双曲线离心率分别为，，则的最大值为______．
12.已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）
13.方程表示圆的充要条件是（）
A. B. C. D.或
14.圆圆心到直线的距离为（）
A. B. C. D.2
15.“的二项展开式中的系数为80”是“或”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16.已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围．
（1）与相交；
（2）与重合．
18.在中，，，．
（1）建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程；
（2）求的重心到边所在直线的距离．
19.双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点．
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求的值；
（2）设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和．
20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程；
（3）若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率．
21.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．
（1）求证：；
（2）求抛物线的方程；
（3）过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值．
上海市长征中学2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试卷简要答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】
【4题答案】
【答案】
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】##
【12题答案】
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）
【13题答案】
【答案】D
【14题答案】
【答案】B
【15题答案】
【答案】C
【16题答案】
【答案】C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【17题答案】
【答案】（1）且
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
（3）
【21题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
（3）
上海市长征中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷解析
一、填空题
本次数学试卷的填空题部分涵盖了椭圆、圆、直线、双曲线以及抛物线的基本性质和方程求解，题目难度适中，旨在考察学生对基础知识的掌握程度。
椭圆方程：通过给定的焦距和椭圆上一点到两焦点的距离之和，可以计算出椭圆的长轴和短轴，进而得到椭圆的标准方程。
圆的标准方程：以两点为直径的圆，其圆心为这两点中点，半径为这两点距离的一半，代入圆的标准方程公式即可求解。
两圆交点：观察两圆方程，发现它们都经过坐标原点，通过解方程组
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