30高中数学新教材课堂导学案（复合函数的导数及函数图像的切线）及答案.docVIP

课堂导学

（简单复合函数的导数及函数图像的切线）

【知识点】

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__y＝f(g(x))__．

思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？

[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1

两个函数复合而成的．

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于___y对u的导数与u对x的导数的乘积_____．

3．区别两种题意：

（1）函数在处的切线；（必定是切点）

（2）函数过处的切线.（可能是切点）

4．如图，若函数在处的切线为，则有三个条件成立：

（1）；

（2）（函数过点）；

（3）（切线过点）.

【典例】

例1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sinu，u＝πx．(√)

(2)f(x)＝ln(3x－1)则f′(x)＝eq\f(1,3x－1)．(×)

(3)f(x)＝x2cos2x，则f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x．(√)

例2．（1）求在处的切线方程；

（2）设函数的图像在点处的切线方程为，求函数的解析式．

解：（1）∵

∴

∴，∴切线斜率，

又∵，∴切点，

由点斜式，得所求为，即

（2）∵∴

∵切线方程为，即，即

∴，

又∵在，∴

即，∴，解得.

例3．一点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是()

A.B.C.D.

思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。，对于曲线上任意一点，斜率的范围即为导函数的值域：，所以倾斜角的范围是

答案：B

例4．（1）已知直线与双曲线相切，求的值；

（2）已知直线与函数相切，求的值.

（3）已知直线与函数相切，求的值.

解：（1）设切点为，

∵，

∴，∴

依题意，得，解得或

解：（2）设切点为，

∵，

∴，∴

依题意，得，解得.

（3）设切点为，

∵，

∴，∴

依题意，得，解得.

例5．求过点，且与曲线相切的直线方程

解：∵点在函数曲线上

（1）当是切点时

由，，

∴切线斜率，且切点为

由点斜式，切线方程为，即.

（2）当不是切点时，设切点为

，∴切线斜率，

由点斜式，切线方程为，

即，

∵切线过点，

∴，解得（舍去）或

∴，

切线方程为，即

综上（1）（2）所述，切线为或

小炼有话说：（1）由于在导数中利用极限的思想对切线进行了严格定义，即割线的极限位置是切线，从而不能局限的认为切线与曲线的公共点一定就是切点，存在一条直线与曲线相切于一点，并与曲线的另一部分相交于一点的情况，本题便是一个典型的例子

（2）在已知一点求切线方程时，要注意切线斜率不仅可用切点的导数值来表示，也可以用已知点与切点来进行表示，进而增加可以使用的条件.

例6．已知，（），直线与函数，的图象都相切，与图象的切点为，则m等于()

A．－1B．－3C．－4D．－2

解：∵，∴，

∴，即切线斜率，

又，及切点为，

由点斜式，所求切线方程为，即.

由，消去，，

∵直线与（）相切，

∴，

∴

解得或，选D

【作业】

一、选择题

1．已知函数，则（C）

A．B．C．D．

2.函数在处切线的倾斜角为（A）

A.?B.?C.?D.

3.已知函数，则（B）

A． B． C． D．

4．（2011湖南）曲线在点处的切线的斜率为（B）

A．B．C．D．

4．B【解析】，所以

.

5.(2010全国文)若曲线在点处的切线方程是，则（A）

（A）(B)(C)(D)

6．函数的图像如图所示，的函数的导函数。下列数值排序正确的是(D)

A．

B．

C．

D．

7．（多选题）（2020·江苏常州市高二期末）下列求导数运算不正确的是（ABC）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】选项A，，故A错误；选项B，，故B错误；

选项C，，故C错误；选项D，正确.

8．（多选题）（2020·全国高二专题练习）下列结论中不正确的是（ACD）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ACD

【详解】对于A，，则，故错误；对于B，，则，故正确；对于C，，则，故错误；对于D，，则