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二面角的求法例题带图二面角的求法

二面角的求法

1.引言

二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一，在历年高考中几乎都要涉及.尤其是在数学新课改的大环境下，要求对二面角求法的掌握变得更加灵活.二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面位置关系的一个汇集点.研究二面角的求法，可以进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机.

在求解二面角的问题中，通常首先要定位出二面角的平面角，而这也是学生在解题中感到最为陌生和棘手的问题.特别是若二面角的楞隐而不露其解题的难度又会增大.本文从二面角的概念定义入手，通过分类求解二面角的题型类别，探

寻二面角的解题思路，并对二面角求解方法加以总结归类.

1.1二面角的相关概念

新教材[1]在二面角中给出的定义如下：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：

图1

二面角的平面角是指在二面角I的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线AOI,BO1,则AOB为二面角1的平面角.

2.二面角的求解方法

对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：

一、“找”:找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角

二、“证”:证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”:计算出该平面角

由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公

式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.

2.1定位二面角的平面角，求解二面角

二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.

2.1.1直接法

1

对于图形中已有二面角的平面角，只要加以证明认定，然后可直接计算求解.

例1[2]如图2,已知PA面ABC,

ABBC,PC的垂直平分线DE交AC于D,交PC于E.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.

解：由PE=EC,PB=BC知PCBE,且PCDE,可知PC面BDE.

因BDC面BDE可得BDPC.

由PA面ABC,BD面ABC知BDPA,且BDPC知BD面PAC.又因DE,DCC面PAC,

故知BDDE,BDDC.于是可知∠CDE是二面角E-BD-C

的平面角.

由PA=AB=1得PB=BC=2.因PA面ABC,BCAB,

PEDAC

图2

B

有BCPB,可得PC=2.在RT△PAC中，∠ACP=30,可得在RT△CDE中，∠CDE=60.

所以二面角E-BD-C的大小为60

2.1.2定义法

根据二面角平面角的定义，其解题步骤一般既是：定棱，找点，连线，解答。即：在二面角棱上选择恰当的点，过此点作出二面角的平面角，如抓住共底的等腰三角形的性质选择公共棱的中点连接得到二面角；在两个平面为共底且对应全等的三角形，可以选择公共垂足连线得到二面角的平面角等。

例2在如图3所示的三棱锥P-ABC中，

AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面角P-BC-A的大

2PDAD

小.

解：作BC中点D,连接PD,AD.因PB=PC=AB=AC,知PDBC,ADBC,又有

面PBC与面ABC共棱可得∠PDA为二面角.P-BC-A的平面角.而AB=2,BC=22,易知AD=PD=2,在RT△PAD中，

cosPDA

PD

2

PAD

图3

CB

AD

2

PA

2

12

所以二面角P-BC-A的大小为三垂线(逆)定理

法

根据三垂线定理及其逆定理，如图4所

2A

图4

示在半平面内找一点P,作PO面于O,并从垂足0作棱1的垂线OA交棱于