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大招琴生不等式

1．琴生不等式

凸函数的定义：设连续函数f(x)的定义域为a,b，对于区间a,b内任意两点x,x，都有

12

xxf(x)f(x)

f(12)12，则称f(x)为a,b上的下凸（凸）函数；

22

xxf(x)f(x)

反之，若有f(12)12，则称f(x)为a,b上的上凸（凹）函数.

22

琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若f(x)为a,b上的下凸（凸）函数，则

xxxf(x)f(x)f(x)

f(12n)12n

nn

nnn

（想象边形的重心在图象的上方，个点重合时边形的重心在图象上）

“”

琴生(Jensen)不等式证明：

1）n2时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；

xxxf(x)f(x)f(x)

2）假设nk时命题成立，即f(12k)12k

kk

xxx

那么当nk1时，设Ak112k1，

k1

xxxx(k1)A

12kk1k1



(k1)A(k1)Akk

f(A)f(k1k1)f()

k1

2k2

k

f(x)i

1x(k1)A1f(x)(k1)f(A)

[f(A)f(k1k1)][i1