模块三大招7不等式证明——主元法(含答案解析）.pdf

7

大招不等式证明——主元法

x

fxaex

a1

我们可以把一元含参函数看成二元函数，如一元含参函数（）与二元函

xy1

Fx,yyexxR

数（，）是完全等价的．如果学习了高等数学，就可以用偏导

F

x

e0xFx,yyy1

数（把看作常数，求对的导数），又，于是可以得到

y

x

Fx,yFx,1ex1x

（常用放缩不等式ex1）．那么怎么用不超纲的方法证明当

x

fxaex1

a1时，函数恒成立呢？

xyxy

从根本逻辑上看，上面偏导数应用的本质是先将固定，把看作变量，先求出在固定变

Fx,yx

化的情况下二元函数的最小值，进而得到一个关于的表达式，最后再求出这个表

Fx,y

达式的最小值，即可得到二元函数的最小值．

x

基于这个思路，在处理其他含参问题时可以依葫芦画瓢，先将固定，以参数为主元，得到

x

一个关于的不等式，然后再加以处理．这种处理含参问题的方法就称为主元法．

x2

fxxaebagxxa1x

【典例1】已知函数（，bR），．

fx

（1）讨论函数的单调性；

试卷第1页，共5页

hxxfxgxhx

（2）设，当x0，a1时，证明：．

a

【大招指引】（1）先求导，再确定正负的范围；（2）先以为主元，得到一个关

xIxgxhx0

于的不等式，从而证明一元含参函数