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立体几何之平行问题

知识点复习：

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．

公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．

平面基本性质

公理2的作用：一是确定平面，二是用来证明点、线共面问题；

公理3的作用：一是判定两个平面是否相交的依据，二是可以判定点在直线上．

线面平行及面面平行：

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

空间中的平行关系

线线平行

线面平行

面面平行

复习题：

1．下列命题：

①有个公共点的两平面必重合；②空间两两相交的三条直线确定一个平面；③三角形是平面图形；④平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑤一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条也相交；⑥两组对边相等的四边形是平行四边形．

正确命题的个数是（）

A． B． C． D．

2．直线平面，直线平面，，且，则（）

A． B． C． D．

3．已知平面相交，在内各取两点，这四点都不在交线上，那么这四点能确定的平面的个数为__________．

4．是三条直线，若与异面，与异面，则与的位置关系为（）

A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能

5．下列命题：①直线平行于平面内的无数条直线，则；②若直线在平面外，则；③若直线，直线，则；④若直线，，则平行于平面内的无数条直线．

其中真命题的个数为（）

A． B． C． D．

6．设是平面内的两条不同直线，是平面内的两条相交直线，则下列已知条件能得到是（）

A．且B．且C．且D．且

7．正方体中，，点为的中点，点在上，若平面，则_____．

8．在正方体中，为的中点，求证：平面．

、

经典精讲

考点1：共点、共线、共面问题

已知正方体，、分别为，的中点，，．

⑴求证：、、、四点共面；

⑵若交平面于点，求证：、、三点共线；

如图1，求作经过棱长为的正方体的棱和的中点、及点的截面．并求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．

⑴若平面平面，直线，点，则在平面内且过点的所有直线中（）

A．不一定存在与平行的直线B．只有两条与平行的直线

C．存在无数条与平行的直线D．存在唯一与平行的直线

⑵已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则且．

其中说法正确的个数是（）

A． B． C． D．

⑶如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，，那么

A． B． C． D．

⑷下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

⑴如图5，三棱锥中，、、分别是、、的中点，是的中点；求证：平面．

⑵如图6，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，、、分别是棱、、的中点．

证明：直线平面．

巩固练习：

1．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AA1＝3，m，∠BCD＝120°，则直线A1B与B1C所成的角的余弦值为（）

A． B． C． D．

2．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（