第05讲 指数和指数函数讲义 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）（解析版）公.docxVIP

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第05讲指数和指数函数

1指数运算

(1)n次方根与分数指数幂

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.

注意：(1)(na)n=a(2)当n是奇数时，

(2)正数的正分数指数幂的意义

①正数的正分数指数幂的意义，规定：am

巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)

②正数的正分数指数幂的意义：a-

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

(3)实数指数幂的运算性质

①as?a

②as

③(ab)r=

2指数函数概念

一般地，函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中x

3图像与性质

函数名称

指数函数

定义

函数y=ax(a0

图象

a1

0a1

定义域

R

值域

(0,+∞)

过定点

图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1．

奇偶性

非奇非偶

单调性

在R上是增函数

在R上是减函数

a变化对图

象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

【题型1】指数幂的运算

【典题1】(2024·全国·高三专题练习)化简：13×82

【答案】2+5/

【分析】利用指数幂的运算性质化简求解即可.

【详解】13×8

故答案为：2+

【巩固练习】

1.(2024·全国·高三专题练习)已知函数fx是奇函数，且fx=3

【答案】-4

【分析】利用奇函数的性质，结合指数幂运算即可得解.

【详解】因为fx是奇函数，f

所以g-8

故答案为：-4.

2.(2024·全国·高三专题练习)已知x12+x

【答案】±21

【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果.

【详解】由x12+

即x+x

又因为x+x

即72=

即x-x-1=

所以x2

故答案为：±21

3.(2024·全国·高三专题练习)求值：0.064-13

【答案】143

【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误

【详解】0.064

=

=10

故答案为14380

【题型2】指数函数的概念

【典题1】(2024·全国·高三专题练习)已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为.

【答案】2

【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误

【详解】由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a=1

当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；

当a＝12时，f(x)=12x在

∴a＝2.

【巩固练习】

1.(2024·全国·高三专题练习)若函数fx=2a2-3a+2

A．2 B．1 C．1或12 D．

【答案】D

【分析】由指数函数的定义可得2a2-3a+2=1且a0

【详解】解：因为函数y=(2a

∴2a2-3a+2=1且a0

由2a2-3a+2=1解得a=1

∴a=1

故选：D.

2.(2024·全国·高三专题练习)已知函数fx满足：?x,y∈R,fx+y=fxfy；当x0

【答案】fx=1

【分析】fx+y=fxfy，指数函数fx=a

【详解】由?x,y∈R,fx+y=fxfy

又当x0时，fx1，可得0a1，故fx

故答案为：f

3.(2024·全国·模拟预测)写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx：

①过定点(3,8)；②f(x)是偶函数；③?x1,

【答案】fx=2

【分析】根据函数的三个性质写出函数解析式，再证明即可.

【详解】由题意，可取fx

f3=2

因为f-x

所以函数f(x)是偶函数，符合性质②，

?x1,

fx1f

所以符合题意的函数可以是fx

故答案为：fx=2

【题型3】指数(型)函数的图像

情况1指数型函数的图像的判断

【典题1】(2024·全国·高三专题练习)(多选)函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是()

【答案】BC

【详解】当a＞1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1，0)，

当x＝0时，y＝1－a＜0，故A不正确，B正确；

当0＜a＜1时，y＝ax－a为减函数，且过点(1，0)，

当x＝0时，y＝1－a∈(0，1)，故C正确，D不正确.

【典题2】(2024·云南昆明·一模)若将函数