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?9圆的轨迹荟萃

9.1定长对定角，轨迹为圆弧

在平面几何中，定长对定角的轨迹是除去定长两个端点的两段圆弧或者是除去定长两个端点的一个圆．

此模型实际上就是圆的一个几何性质的应用，即同弧对应的圆周角相等．

此外，在求解与此模型相关的题型时，经常需要综合运用圆的几何性质：①圆周角是圆心角的一半；②弦切角与弦对应的圆周角相等；③四点共圆，对角互补；同时，许多向量题目都喜欢以这些平几背景为马甲进行出题．

引例已知△ABC底边BC的长为8，两底角之和为，建立合适的坐标系，求出顶点A的轨迹方程．

法一根据圆中，定弦对应的圆周角不变，故顶点A的轨迹是两段圆弧，且不包含B、C两点．

利用正弦定理，可得圆弧的半径为，此时，以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，只需要确定圆心的位置即可．

易知圆心在y轴上，又，且，易得，．

因此，顶点A的轨迹方程为和．

法二利用到角公式

例如右图，给定三角板ABC（其中）的顶点B、A分别在x轴和y轴正半轴滑动，并可滑至原点，则滑动过程中，顶点C的轨迹为()．

A．一段线段 B．一段圆弧 C．一段椭圆 D．一段抛物线

解选A；易知OACB四点共圆，连结OC，则，即直线OC的倾斜角为定值．

例(1)?已知中，，，则的最大值为；的取值范围为．

(2)?已知O是△ABC的外心，若，，为锐角，则的取值范围是()．

A． B． C． D．

(3)(2010浙江理)已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是_______．

解(1)点A的轨迹是圆弧，且半径为，如图中的圆O．

设BC的中点为D，则，易知当AD过圆心O时，AD有最大值，此时AD⊥BC，结合，，易求得，故的最大值为．

由于，故．

(2)?选A；如图所示，点A的轨迹为（C可取，D取不到），故，．

(3)?；如图所示，构造出相应的图形，则点A在优弧上运动，其半径，因此，．

例(1)?若△ABC的外接圆是半径为1的圆O，且，则的取值范围是．

(2)?已知向量均为单位向量，且，向量与向量的夹角为，则的最大值为()．

A． B．1 C． D．2

解(1)?利用极化恒等式：（其中D为AB中点）．

不妨将AB固定，则AB对应的，因此，点C在优弧上运动，故，即，故；

又C不与A、B重合，所以，因此，．

(2)?选D；如图所示，构造出相应的图形即可．

例在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，BC边上的中线的长为，则a的最小值为()．

A． B． C． D．

解选B；由射影定理可知：，又，故，设BC边上的中线为AM．

法一利用余弦定理：，又，两边平方：，再利用求解即可．

法二利用中线定理＋极化恒等式：，代入即可．

法三不妨固定BC，则点A的轨迹为优弧，设优弧对应的圆心为O，半径为r，则，其中，，即．

法四延长AM到D，且，则ABDC为平行四边形，在△ABD中，，，因此，点B的轨迹是在劣弧上，设劣弧对应的圆心为O，半径为r，则，．

又，即，故．

此法和法三实质一样的，不过，对三角形的中线，利用补形的思想还是很常用的，在有些题目中可以简化运算！

例在△ABC中，，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记，则当取得最大值时，．

解由，易得，即．

根据题意，不妨令，（求比值的题型，要善于利用赋单位值的思想，简化运算），则点A的轨迹是圆弧，且半径为．

又，因此，当AD过圆心O时，取得最大值，如图所示，由于，且，故．同时，取BC的中点，结合勾股定理，易求得，再结合，最终可得：．

例已知△ABC的三个内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且，，当取得最大时，的值为．

法一通法先行，利用解三角形的知识

由于，故，因此，

，

当且仅当，即时，取得最大时，此时，

．

法二从轨迹的角度出发，利用几何法，结合向量投影

易知点C的轨迹是圆弧，当取得最大时，OC∥AB，作CD⊥AB于点D，CD是圆O的切线，故，后续同上．

例在正△ABC中，M为△ABC内一动点，，则的最小值是()．

A．1 B． C． D．

法一选C；易知点M的轨迹是圆的一段劣弧BC，补全该圆，设为圆O，易证得圆O和边AB、AC相切，则，因此，△ACM∽△ADC，故，易知当CD为圆O的直径时，取得最小值．

设圆O的半径为R，则，故．

法二此题实质和前面的最值问题专题中的南通三模那题是一样一样的！因此，也可以建系求