高斯小学奥数五年级下册含答案第15讲-数字谜中的计数.docxVIP

第十五讲数字谜中的计数

上一讲我们讲解了一些与数论相关的计数问题，这一讲我们来研究一下数字谜中的计数问题，首先我们来看竖式问题．

如图，请在方框中填入0~4中的数字，使竖式成立．小高的填法如下中图，卡莉娅的填法如下右图，墨莫说，还有很多种填法．同学们你能判断出一共有多少种不同的填法吗？

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4

4

4

4

1

3

+

3

1

4

4

4

4

2

1

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2

3

4

4

4

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3

3

3

练习1、如图，方框中都是0~3中的数字，使竖式成立，一共有多少种填法？

如图，方框中都是3~6中的数字，求出所填九个数字之和为多少？一共有多少种填法？

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「分析」注意题目要求只能填入3至6中的数字，能不能确定每一位的数字和？

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4

9

9

5

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5

3

7

数字谜中的计数问题，不仅要求填出的方案能满足数字谜的要求，还要把所有情况考虑周全，这也是此类问题比较难的原因．在解决此类问题时，往往分成两步：首先找到所有不同类的填法，然后再考虑每一类填法有多少种即可．但要注意在做这两步时都要做到不重不漏．

将1到6填入下图，使得每两个相邻的空格中都有1个奇数1个偶数，那么有多少种填法？

「分析」抛开1~6这六个数字的具体数值，只按奇、偶性分析题目是解题关键．

练习3、将1~4填入方框中，使得每相邻的2格都既有奇数又有偶数，那么共有多少种填法？

在图1的空格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的6个数字互不相同，例如图2为一种填法．那么一共有多少种不同的填法？264237

2

6

4

2

3

7

5

3

图1

图2

练习4、在1~7中选出6个互不相同的数字填入下图的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．一共有多少种填法？

以前在填写数阵图时，一般都需要先找到突破口，再顺藤摸瓜填满所有空格．现在对于数阵图中的计数问题，同样也要先找到数阵图的突破口．

在1~9中选出6个互不相同的数字填入下图的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．一共有多少种填法？

「分析」首先填出可能性比较少的位置或数字，．

将数字1至6分别填入图中各个圆圈，使得每条线段两个端点处所填的数，上面的比下面的大，那么符合上述要求的不同填数方法一共有多少种？

「分析」这个数阵图中，我们首先应该考虑的位置是哪个？

节日问候

特里格教授在洛杉矶城市学院时提出了如下的问题(《美国数学月刊》问题El241，1956年)：

节日问候“MERRYXMASTOALL”是一个数字谜，每个字母代表惟一的数字，而每个词是一个平方数．求所有解．

结果只有两个解：

27556324981400和34225739681900

罗森菲尔德(AzrielRosenfeld)发现，如果加一个条件，要求每个词的数字之和是一个完全平方数，则解是惟一的．

卡斯特(EdgarKarst)发现，同一句问候的方程MERRY+XMAS=TOALL也是一个数字谜．其中每个字母代表惟一的数字，而每个词能被3整除．这时有惟一解：84771+5862=90633．

作业

在右边的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．这个竖式有多少种不同的填法AB+C

A

B

+

C

A

1

2

3

???+??765如图，方框中都是6~9内的数字，为使竖式成立，一共有

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?

?

+

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7

6

5

将1到9填入图中，使得每两个相邻的空格中都有1个奇数和1个偶数，有多少种填法？

从数字1~6种选5个填入图中，使每相邻两格中，下边的数字比上边的大，右边的数字比左边的大，有多少种填法？

如图，在1~10中选6个数字填入图中，使得上面的数比下面的数大，那么有种填法？

第十五讲数字谜中的计数

例题：

答案：20种

详解：首先可以确定三位数的首位为4，个位的两个数字，从上到下依次可为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5种填法．注意到两位数的首位不能为0，十位的两个数字可为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），共4种填法，由乘法原理，共有种填法．

答案：45；30

详解：首先可以判断出四位数的首位为4，个位的三个数字和不能为5或25，只能为15，向十位进1．十位三个数字的和只能为18，百位两个数字的和只能为8．因此所填九个数字之和为．百位上两个数的和是8，有和这两种情况．其