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第二讲分式、根式及其运算
答案与解析
例题讲解:
例1.分式化简:.
【答案】.
【分析】先把除法变成乘法然后约分,再计算分式减法即可.
【解答】解:
.
例2.化简:.
【答案】
【分析】先通分括号内的式子,再算括号外的除法即可.
【解答】解:
.
例3.化简:.
【答案】
【分析】先通分括号内的式子,再算括号外的除法即可.
【解答】解:
.
例4.化简:.
【答案】.
【分析】先通分括号内的式子,再算括号外的除法即可.
【解答】解:
.
例5.阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
参照上面的方法化简:.
【分析】分子、分母同时乘以即可.
【解答】解:.
故答案为:.
例6.“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法,如:除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数,如:对于,设,易知,故,由解得
,即
.根据以上方法,化简.
【答案】.
【分析】设,计算,利用平方根的意义求得,再利用分母有理化的法则化简即可.
【解答】解:设,
,
.
.
.
原式
.
例7.观察下列等式
第1个等式:;
第2个等式;
第3个等式;
第4个等式.
按上述规律,回答以下问题
(1)请写出第5个等式;
(2)写出你猜想的第为正整数)个等式(用含的等式表示),并利用上述规律计算.
(3)设实数,满足,求的值.
【答案】(1);
(2),
;
(3)0.
【分析】(1)根据题中等式得出结论;
(2)根据题中等式猜想得出结论,再根据结论求值;
(3)先根据题中方法变形划去分母,再利用等式的性质计算.
【解答】解:(1),
故答案为:;
(2);
;
(3),
①,
②,
①②得:,
.
例8.阅读下列解题过程:
;
.
请回答下列问题:
(1)归纳:观察上面的解题过程,请直接写出下列各式的结果.
①;②;
(2)应用:求的值;
(3)拓广:.
【分析】(1)①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案;
②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案;
(2)直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案;
(3)直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案.
【解答】解:(1)①;
②;
故答案为:;;
(2)
;
(3)
.
故答案为:.
例9.观察下列一组等式,然后解答后面的问题
,,
(1)观察上面规律,计算下面的式子
(2)利用上面的规律
比较与的大小.
【分析】(1)根据题目中材料,可以先将所求式子分母有理化,再化简即可解答本题;
(2)根据上面的规律可以比较与的大小.
【解答】解:(1)
;
(2),
,
又,
,
即.
例10.化简:.
【解答】解:
变式练习:
1.【答案】
【分析】读懂题意,利用分母有理化计算并判断即可.
【解答】解:
,
甲正确;
,
,
,
解得,
,乙错误;
,
,
,
丙正确;
已知,
,
,
,
则,
丁错误;
,
戊正确,
正确的有甲丙戊,
故选:.
2.【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分,做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算,而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解,然后约分.
【解答】解:
.
故答案为.
3.【答案】(1),;
(2)21,4,1,2;
(3).
【分析】(1)将用完全平方公式展开,与原等式左边比较,即可得答案;
(2)设,则,比较完全平方式右边的值与,可将和用和表示出来,再给和取特殊值,即可得答案;
(3)利用题中描述的方法,将要化简的双重根号,先化为一重根号,再利用分母有理化化简,再合并同类二次根式和同类项即可.
【解答】解:(1),,
,,
故答案为:,.
(2)设.
则.
,,
若令,,则,.
故答案为:21,4,1,2.
(3)
.
4.【答案】(1);(2);(3).
【分析】(1)根据模型,得,,进而求得和分别为1和,代入求解即可;
(2)将原式化为.根据模型,得,,进而求得和分别为和,代入求解即可;
(3)根据勾股定理,求得边的长度,再根据模型化简即可.
【解答】解:(1),.
,,
,,.
(2).,,,,
,,.
(3).
,,,,,
,,
.
5.【答案】(1)5;
(2)①4;②0,2.
【分析】(1)将原式分母有理化后,得到规律,利用规律求解;
(2)将分母有理化得,移项并平方得到,对①,②的式子进行变形后代入求值.
【解答】解:(1)原式
;
(2)①,,,,
;
②,,
原式;,
,原式.故答案为:0,2.
6.【分析】由满足,得出,为偶数得出,再进一步化简,代入求得答案即可.
【解答】解:满足,
,,
,且为偶数
,
,
原式.
7.【分析】(1)根据阅读材料中真分式与假分式的定义
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