模块一大招7权方和不等式(含答案解析）.docx

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大招7??权方和不等式

在遇到利用不等式法求最值时，常常会遇到无法利用基本不等式解决的问题，可以利用权方和不等式处理.

（一）二维权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.

证明：，要证，只需证

即证，故只要证，

则，当且仅当时，等号成立

即，当且仅当时，等号成立.

变形1：已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.

变形2：已知，且，则当且仅当时，等号成立.

（二）多维权方和不等式：

公式1：若，则，当时，等号成立.

公式2：若，则，当时，等号成立.

权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.

【典例1】已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是____.

【大招指引】本题给定了已知整式和方程，待求式符合权方和的形式：分子的幂指数比分母的幂指数大1，利用权方和会得到.根据已知条件知不等式右侧为定值，从而可直接使用.

解析：；当，即时，等号成立.

【题后反思】不等式的最值求法方法较多，关键是要熟知每种不等式的结构特征，根据题中特征选择合适的方法.

【温馨提醒】权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.

【举一反三】

1．设，，若，则的最小值为

2．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为.

【典例2】若，，，则的最小值为______________

【大招指引】本题给定了分式和方程，而我们的权方和不等式就是分式形状，因此需要对已知式变形，一方面符合权方和的形式，另一方面需要出现待求式，于是可将分子分母同乘4，则可见分母，正是待求式，便可顺利解决.

解析：

即，则，当且仅当时取等号.

【题后反思】很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形，得出我们所要的结果.

【举一反三】

3．已知，且满足，则的最小值为.

4．已知，且，求的最小值为.

【典例3】已知x＞1，y＞1，则的最小值是__________.

【大招指引】本题未告知已知条件，只有一个分式和求最值，则需要观察这个分式的特征，若直接利用权方和不等式，这样分子出现，分母也出现，接着就可以利用换元换成一个变量，再利用基本不等式即可解决.

解析：令，

当，即，两个等号同时成立.

【题后反思】权方和不等式在使用时也跟基本不等式相似，“一正，二定，三等式”，关键也是需要变形和验证.

【举一反三】

5．已知，则的最小值为．

6．已知，则的最小值.

【典例4】求的最小值为______________.

【大招指引】本题未告知已知条件，只有一个分式和求最值，则需要观察这个分式的特征，若直接利用权方和不等式，需要寻求定值，与三角函数有关的定值就是，于是通过配凑得出即可.

解析：

，当且仅当时取等号.

【题后反思】遇到求最值的问题还是需要寻求定值，有时给了最值，有时是在给定式中，灵活的变形也是解题的关键.

【举一反三】

7．函数的最小值是.

8．已知正实数、且满足，求的最小值.

（2023·全国·高三专题练习）

9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（????）

A．16 B．25 C．36 D．49

10．设、，，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

11．已知为锐角，则的最小值为.

（2023秋·贵州贵阳·统考期末）

12．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为．

13．已知正数，，满足，则的最小值为

14．已知正数满足，则的最小值为

15．已知，求的最小值为

16．设,则的最大值为．

17．求的最大值为

18．已知实数x，y满足，且，的最小值为.

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参考答案：

1．

【分析】利用基本不等式的性质即可得出．

【详解】解：，

，

，

当且仅当，时取等号，

故，则的最小值