模块三大招11隐零点代换(含答案解析）.docx

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大招11??隐零点代换

1．隐零点的介绍

利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”．

对于隐零点问题，就是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，会涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧．

2．隐零点问题的一般求解策略：

第一步：用零点存在定理判断导函数零点的存在性，列出零点满足的方程，并结合函数的单调性得到隐零点的取值范围.当函数的隐零点不可求时，首先可用特殊值进行“投石问路”.特殊值的选取原则是：

（1）在含有的复合函数中，常令，尤其是令进行试探；

（2）在含的复合函数中，常令，尤其是令进行试探.

第二步：以零点为分界点，说明导函数符号的正负，进而得到题设函数最值的表达式.

第三步：将零点满足的方程适当变形，利用隐零点具有的性质整体代入函数最值表达式中进行化简，达到求函数最值、求参数取值范围、证明不等式、解不等式等目的，使问题获解.

注：

3.隐零点问题的注意点

需要重点关注其中的三个过程，包括零点确定性过程、最值表达式的变形过程及整体代人过程，具体内容如下:

（1）隐性零点确认，确认隐性零点可直接利用零点存在性定理，也可由函数的图像特征，以及题设条件来推导而隐性零点的范围界定，主要由所求问题来决定，解析尽可能缩小其取值范围

（2）表达式的变形过程中，尽可能将复杂的表达式变形为常见的整式或分式，特别注意替换其中的指数或对数函数式，为后续的探究做铺垫

（3）整体代人过程基于的是数学的设而不求思想，对于其中的超越式，尽可能化为常见的代数式.

【典例1】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：函数的图象在x轴上方.

【大招指引】（1）求，根据正负即可求y的单调区间；

（2）求，根据零点的范围求出g（x）的最小值，然而最小值点未能求出，必在上存在一个，使得：，即：，且，通过变形代换证明其最小值大于零即可.

（1），令则.

当时，，∴函数在上单调递增；当时，，∴函数在上单调递减.

即的单调递增区间是，单调递减区间是；

（2），

，易知单调递增，

又，，

∴在上存在一个，

使得：，即：，且，

当，有单调递减；

当，有单调递增.

∴，

∴，

∴函数的图象在x轴上方.

【题后反思】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在（1，2）之间存在零点，据此求出g（x）的最小值，证明此最小值大于零即可.

【温馨提示】对于不含参函数f（x），导函数方程f′（x）＝0的根存在，却无法求出，设方程f′（x）＝0的根为x0，则有：①f′（x0）＝0成立；②注意确定x0的合适范围．

【举一反三】

【2023贵州联考一模】

1．已知．

(1)讨论的单调性；

(2)若对恒成立，求整数a的最小值．

【2023内蒙古赤峰二中联考模拟预测】

2．已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)当时，证明：在，上各有一个零点，且这两个零点互为倒数．

【典例2】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间有唯一零点，证明：.

【大招指引】（Ⅰ）求导得，分，，，三种情况讨论可得单调区间.

（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即且

所以，且，消去得，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.

（Ⅰ），，

令，，

若，即，则，当时，，单调递增，

若，即，则，仅当时，等号成立，当时，，单调递增.

若，即，则有两个零点，，

由，得，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减.

（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.

此时，就是函数在区间的唯一零点.所以，从而有，又因为，所以，

令，则，设，则，

再由（1）知：，，单调递减，又因为，，

所以，即

【题后反思】含参函数f（x，a），其中a为参数，导函数方程f′（x，a）＝0的根存在，却无法求出，设方程f′（x）＝0的根为x0，则有：①f′（x0）＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关．

【举一反三】

【2024江苏南京市、盐城市期末调研】

3．已知函数（）.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若函数的图象与x轴相切，求证：.

【2023广东东莞统考】

4．设函数，e为自然对数的底数.

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）证明