模块三大招6不等式证明——指对处理(含答案解析）.docx

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大招6不等式证明——指对处理

在导数大题中，如果一个函数的解析式中存在指数形式或者对数形式时，我们的处理原则是允许指数与关于的整式、分式乘在一起，但不允许对数与关于的整式、分式乘在一起．

例如设为可导函数，则有，若为非常数函数，求导式子中含有，这类问题需要多次求导处理这类函数的技巧是将前面部分提出，就留下这个独行侠，然后研究剩余部分，这类方法技巧叫对数独行侠．

设为可导函数，则有，若为非常数函数，求导式子中还是含有，针对此类型，可以采用作商的方法，构造，从而达到简化证明和求最值的目的，总在找属于它的朋友，此类方法技巧俗称指数找朋友．

这样处理完毕后再求导，得到的导函数与0的大小关系容易比较，一般只取决于多项式与0的大小关系（例如，，，）．

上述处理方法，文雅点可以称为“指成双，对落单”．如果待求式子不符合上述原则，则需要先改造成符合这一原则，然后再进行计算．

【典例1】已知函数．

（1）当时，试讨论的单调性；

（2）求证：，恒成立．

【大招指引】（2）由于“，”不符合“指成双”原则，因此要加以改造，变成“，”，从而得到证明．下面进入完整解题步骤：

【解析】（1）因为，所以．

若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，0，函数单调递减．

若，则，函数单调递减．

若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．

（2）构建函数，所以，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，所以当时，．又当时，，所以，所以，，所以，恒成立．

【题后反思】在解导数大题之前，可以先把思路理顺，然后在正式解答过程中就能一直从头写到尾，管它变形多么巧妙．这也是为什么一般看解析时，很多步骤刚开始看不知道为啥，看到最后才发现妙在何处的原因．

【温馨提示】设置成“指成双，对落单”的目的，是为了后面的函数构造，研究单调性，极值，最值更加方便的进行处理.

【举一反三】

1．求证：

(1)（）；

(2)；

(3)（）．

2．当时，求证：．

【典例2】【2024陕西菁师联盟质量监测】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：时，．

【大招指引】（1）求导可得，构建函数，，利用导数判断的单调性和符号，进而可得的单调性；

（2）令，可将对数分开出来进行研究，分析可知等价于，求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明.

【解析】（1）由题意可得：，解得且，

所以的定义域为，

因为，

令，，

则，

当，，则在上单调递减，

可得，即，所以在上单调递增；

当，，则在上单调递增，

可得，即，所以在上单调递增；

综上所述：在上单调递增，在上单调递增.

（2）对于不等式，即，

当时，则，整理得；

令，

可知等价于，

因为，

则在内单调递增，且，

可得当时，可得，

所以时，.

【题后反思】一般不允许对数与关于的整式、分式乘在一起．这样处理完毕后再求导，得到的导函数与0的大小关系容易比较.

【举一反三】

3．已知函数．

(1)当时，求在上最大值及最小值；

(2)当时，求证．

【2024安徽亳州蒙城六中月考】

4．已知函数.

(1)求曲线在处切线的斜率；

(2)当时，证明：.

【典例3】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，．

【大招指引】（1）按正常单调性进行研究；（2）要证明的式子中既含有指数式又含有对数式，可利用“指成双，对落单”，将要证的不等式转化为，再构建函数进行研究.

【解析】（1）因为，所以，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．

（2）要证，只需证（指成双，对落单）．构建函数，则．再构建函数，所以，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取最小值0，所以，当且仅当时取等号．所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取最小值0，所以，当且仅当时取等号，所以当时，．

【题后反思】一般要证明的不等式结构比较复杂，不能按照它给的结构形式进行研究，如若出现指对数都有的形式，可利用“指成双，对落单”，便于后面分析单调性，极值与最值.

【举一反三】

【2024江西高三上学期12月统一调研】

5．已知函数，的图象在点处的切线方程为．

(1)求的解析式；

(2)证明：，恒成立．

【2024四川宜宾一诊】

6．已知函数

(1)求的极值；

(2)证明：当时，．

7．已知函数．若，证明：当时，；当时，．

8．已知函数且.

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

9．已知函数，．

(1)证明：存在唯一，使；

(2)证明：存在唯一，使，且对（1）