人教A版高中同步训练数学选择性必修第三册精品课件 第6章 计数原理 6.2 第4课时 组合的应用.ppt

6.2排列与组合第4课时组合的应用

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.组合的有关概念一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

微思考1应用组合知识解决实际问题的步骤是什么?提示:(1)判断:判断实际问题是不是组合问题.(2)方法:选择利用直接法还是间接法解题.(3)计算:利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论:根据计算结果写出方案个数.

微训练(1)若把4张同样的参观券分给5个人,每人最多分一张,且全部分完,则分法一共有()答案:D解析:由于4张同样的参观券分给5个人,每人最多分一张,从5个人中选4人满足分配要求,故有种.

(2)某施工小组有男工人7名,女工人3名,现要选1名女工人和2名男工人去支援另一施工小组,不同的选法有()答案:D

2.组合与排列的异同点共同点:排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.微思考2解决先选后排问题时,应遵循哪些原则?提示:(1)先特殊后一般;(2)先组合后排列;(3)先分类后分步.

课堂·重难突破

一有限制条件的组合问题典例剖析1.课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,符合下列条件的选法各有多少种?(1)至少有一名队长入选;(2)至多有两名女生入选;(3)既要有队长,又要有女生入选;(4)至多有1名队长入选.

(3)分两类:

(4)分两类:根据分类加法计数原理,至多1名队长被选上的方法有462+660=1122种.

互动探究(变问法)(1)队长都不入选;(2)队长恰有一人入选.

规律总结有限制条件的组合问题的解法(1)“含”与“不含”问题:常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数.(2)“至多”与“至少”问题:常有两种解决思路:①直接分类法,但要注意分类不重不漏;②间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.

学以致用1.某社团共有35名学生,其中男生20名,女生15名,从中选出3名学生参加活动.(1)其中某一女生必须在内,不同的选法有多少种?(2)其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种?(3)恰有2名女生在内,不同的选法有多少种?(4)至少有2名女生在内,不同的选法有多少种?(5)至多有2名女生在内,不同的选法有多少种?

二分组(分配)问题典例剖析2.(1)6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分配方法:①分给甲、乙、丙三人,每人2本;②分为三份,每份2本;③分为三份,一份1本,一份2本,一份3本;④分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本;⑤分给甲、乙、丙三人,每人至少1本.

(2)6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求满足下列要求的放法各有多少种?①每个盒子都不空;②恰有一个空盒子;③恰有两个空盒子.

(2)解:①首先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有=10种.即有10种不同的放法.②恰有一个空盒子,分两步进行.

③恰有两个空盒子,分两步进行.

规律总结1.分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题:①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,则必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复情况.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以先分组,再分配.

2.相同元素分配问题的建模思想(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作向排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m,且每个对象都有),有种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块板.

学以致用2.(1)某大学为提高数学系学生的数学素养,特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“数学原理”四门选修课程,要求数学系每名同学每学年至多选3门,大一到大三三学年必须将4门选修课程选完,则每名同学的不同选修方式有()A.60种 B.78种 C.84种 D.144种答案:B

(2)假如某大学给某市三所重点中学7个推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为()A.30 B.21 C.10 D.15答案:D

解析:(1)根据题意,分两步进行分析:第1步,将4门选修课程分为3组,根据分步乘法计数原理,共有13×6=78种选修方式.故选B.

三组合在几何