人教版高三数学知识必备02 一元二次函数、方程与不等式2025年高考一轮复习.docxVIP

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专题02一元二次函数、方程与不等式

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

知识点1等式性质与不等式性质

1、等式性质

性质

文字表述

性质内容

注意

1

对称性

可逆

2

传递性

同向

3

可加、减性

可逆

4

可乘性

同向

5

可除性

同向

2、不等式性质

性质

别名

性质内容

注意

1

对称性

ab?ba

可逆

2

传递性

ab，bc?ac

同向

3

可加性

ab?a＋cb＋c

可逆

4

可乘性

ab，c0?acbc

ab，c0?acbc

c的符号

5

同向可加性

ab，cd?a＋cb＋d

同向

6

正数同向可乘性

ab0，cd0?acbd

同向

7

正数乘方性

ab0?anbn(n∈N，n≥2)

同正

知识点2一元二次不等式的解集

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0

(a0)的根

有两相异实根x1，x2(x1x2)

有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0

(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

{x|x∈R}

ax2＋bx＋c0

(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

知识点3基本不等式

1、重要不等式：,（当且仅当时取号）.

变形公式：

2、基本不等式：

（1）基本不等式成立的条件：

（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号．

（3）算术平均数与几何平均数

设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，

基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3、利用基本不等式求最值

已知x0，y0，则

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)

（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)

重难点01利用基本不等式求最值的方法

法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系

【典例1】（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（????）

A．2 B． C．4 D．

【典例2】（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

【典例1】（23-24高三下·河南·开学考试）已知，则的最小值为（????）

A．6 B．5 C．4 D．3

【典例2】（23-24高三上·山西晋中·开学考试）已知，则的最大值为（????）

A．2 B．4 C．5 D．6

法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况

类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；

【典例1】（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

【典例2】（23-24高三上·甘肃武威·期末）若，且，则的最小值为（????）

A．6 B．9 C．4 D．8

类型2：分母为多项式时

方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；

方法2：待定系数法，适用于所有的形式，

如分母为与，分子为，

设

∴，解得：

【典例1】（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【典例2】（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

【典例1】（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（????）

A． B． C． D．2

【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

【典例1】（2023·山东潍坊·