人教A版高中同步训练数学选择性必修第三册精品课件 第6章 计数原理 习题课一 两个计数原理与排列、组合的应用.ppt

第六章计数原理

习题课一两个计数原理与排列、组合的应用;一两个计数原理的应用;2.分步乘法计数原理;命题角度1:“类中有步”的计数问题

【典型例题1】电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次答题中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,则有种不同的结果.?

答案:28800;解析:在甲箱或乙箱中抽取幸运之星,决定了后边选幸运伙伴是不同的,故要分两类分别计算:第1类,幸运之星在甲箱中先确定,再在两箱中各确定一名幸运伙伴,有30×29×20=17400种结果;第2类,幸运之星在乙箱中先确定,同理有20×19×30=11400种结果.

因此共有17400+11400=28800种不同的结果.;解题技巧用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示:

从A到B算作完成一件事,完成这件事有两类方法,第1类方法中有3步,第2类方法有2步,每步的方法数为mi(i=1,2,3,4,5).

因此,完成这件事的方法数为(m1m2m3+m4m5).;“类”与“步”可进一步地理解为:

“类”用“+”连接,“步”用“×”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”缺一不可.

此类问题若不能合理分类,往往会出现多解情况.分类要注意不重不漏.;【跟踪训练1】为了应对经济制裁,某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为.?

答案:182;命题角度2:“步中有类”的计数问题

【典型例题2】某学校文学社中甲、乙、丙、丁、戊、己这六名即将毕业的高三成员从左到右站成一排拍照留念,其中甲不站在队伍的两端,乙、丙两人不相邻,丁必须站在戊的左面(丁、戊两人可以相邻,也可以不相邻),则满足条件的不同站队方式的站法数为.?

答案:168;解析:根据题意,分两步进行分析.

第1步,将丁、戊、己三人排好,要求丁必须站在戊的左面,;解题技巧用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示:

从计数的角度看,由A到D算作完成一件事,可简单地记为A→D.

完成A→D这件事,需要经历三步,即A→B,B→C,C→D.

其中B→C这步又分为三类,这就是步中有类.

其中mi(i=1,2,3,4,5)表??相应步的方法数.

完成A→D这件事的方法数为m1(m2+m3+m4)m5.;【跟踪训练2】如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有()

A.11种 B.12种 C.20种 D.21种

答案:D;解析:根据题意,设5个开关依次为1,2,3,4,5,若电路接通,则开关1,2与3,4,5中都至少有1个接通,分两步完成:

第1步:对于开关1,2,共有2×2=4种情况,

其中全部断开的有1种情况,则其至少有1

个接通的有4-1=3种情况;

第2步:对于开关3,4,5,共有2×2×2=8种情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有8-1=7种情况.

根据分步乘法计数原理,电路接通,开关不同的开闭方式有3×7=21种.故选D.;二有限制条件的排列问题;命题角度1:元素“相邻”与“不相邻”问题

【典型例题3】某次文艺晚会上共演出了8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目单的排法有多少种?

(1)一个唱歌节目作开头,另一个作结尾;

(2)两个唱歌节目不相邻;

(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.;【跟踪训练3】某校举办诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加,且当这3名学生都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()

A.720 B.768

C.810 D.816

答案:B;命题角度2:元素“在”与“不在”问题

【典型例题4】甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?

(1)甲不能在两端;

(2)甲、乙必须在两端;

(3)甲不在最左端,乙不在最右端.;规律总结“在”与“不在”排列问题解题原则及方法

(1)原则:谁特殊谁优先,可以从元素入手也可以从位置入手.

(2)方法:从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在其他位置上;从位置入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置.

提醒:解题时,或从元素考虑,或从位置考虑,都要贯彻到底.不能一会考虑元素,一会考虑位置,造成分类、分步混乱,导致解题错误.;【跟踪训练4】某次演习时,队长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位,且任务E,F必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有()