人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质.ppt

3.2.2双曲线的简单几何性质

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1.双曲线的几何性质

2.等轴双曲线(1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.?(2)等轴双曲线具有以下性质:①方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);?②渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角;?③离心率e=________.?3.直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系有三种,分别是相交、相切、相离.?

微判断判断.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线方程与双曲线方程联立,消元后一定得到一元二次方程.()(2)直线与双曲线相交,一定有2个公共点.()(3)直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点.()××√

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一根据双曲线的方程研究其几何性质典例剖析1.求双曲线4x2-9y2=-4的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、渐近线方程、离心率.

规律总结1.已知双曲线的方程研究其几何性质时,若不是标准方程,应先化为标准方程,确定方程中a,b的值,利用c2=a2+b2得到c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的相关几何性质.

2.求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上.

学以致用1.若是双曲线my2-4x2+4m=0上的一点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.

二根据双曲线的几何性质求其标准方程典例剖析2.求满足下列条件的双曲线的标准方程:

(方法二)由于双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,所以可设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入可得λ=-32,因此双曲线方程为4x2-9y2=-32,即双曲线的标准方程为

规律总结求双曲线的标准方程,主要采用待定系数法,常用以下方法巧设双曲线方程进行求解:

(5)渐近线方程为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0);(6)渐近线方程为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).

学以致用2.求下列双曲线的标准方程:

三双曲线的渐近线与离心率问题典例剖析B

(3)已知双曲线C:=1(a0,b0),过双曲线C的右焦点F作C的渐近线的垂线,垂足为M,延长FM与y轴交于点P,且|FM|=4|PM|,则双曲线C的离心率等于.?

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四直线与双曲线的位置关系及其应用典例剖析4.已知直线l:x+y=1与双曲线(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数a的取值范围;(2)若a=1,求直线l与双曲线C相交所得的弦长.

规律总结1.直线与双曲线只有一个公共点,并不一定是直线与双曲线相切,还可能是直线与双曲线的渐近线平行,这种情况对应于直线方程与双曲线方程联立后,二次项系数等于0.

2.求弦长的两种方法.

(1)距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间距离公式求弦长.

(2)弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦长公式求解,即若直线y=kx+b(k≠0)与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两

学以致用解:设点C(x,y),则||CA|-|CB||=2,根据双曲线的定义,可知点C的轨迹是双曲线.