人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程.pptVIP

3.3.1抛物线及其标准方程

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1.抛物线的定义微思考在抛物线的定义中,为什么要求定直线l不经过定点F?提示:如果定点F在定直线l上,那么与定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹就不再是抛物线,而是一条过点F且与直线l垂直的直线.

2.抛物线的标准方程

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一根据抛物线方程求焦点坐标和准线方程典例剖析1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

学以致用

二求抛物线的标准方程典例剖析2.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)准线方程为2y+3=0;(2)焦点F到直线x=2的距离等于3;(3)经过点M(-8,4);(4)焦点到准线的距离等于双曲线的实轴长.

(3)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴或x轴的负半轴上.当抛物线焦点在y轴的正半轴上时,设抛物线方程为x2=2py(p0),将点M(-8,4)的坐标代入抛物线方程,得(-8)2=2p·4,得2p=16,所以抛物线的标准方程为x2=16y.当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,同理可得,抛物线的标准方程为y2=-2x.故所求抛物线的标准方程为x2=16y或y2=-2x.

学以致用2.若抛物线的焦点在直线x+2y+6=0上,则其标准方程为()A.x2=-24y或y2=-12x B.y2=-12x或x2=-6yC.y2=-24x或x2=-12y D.y2=-12x或x2=-6y答案:C解析:直线x+2y+6=0与坐标轴的交点为(-6,0)和(0,-3),当焦点为(-6,0)时,抛物线的标准方程为y2=-24x;当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y.

三抛物线定义的应用典例剖析3.(1)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆C的圆心轨迹为()A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆(2)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(5,2),则|PA|+|PF|的最小值等于()答案:(1)A(2)D

解析:(1)由题意知,圆心C到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆心C到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.

互动探究1.(变条件)本例(1)条件改为“已知圆C过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切”,则圆心C的轨迹方程为.?答案:y2=4x解析:由题意,圆心C到直线l的距离等于圆的半径|CA|.由抛物线的定义知,点C的轨迹是以A(1,0)为焦点,以直线l为准线的抛物线,且.所以圆心C的轨迹方程为y2=4x.

2.(变条件,变问法)本例(2)点A坐标改为(1,2),点P到抛物线准线的距离为d,其他条件不变,求|PA|+d的最小值.解:由题意可知,点A(1,2)在抛物线的外部,d=|PF|.∴|PA|+d=|PA|+|PF|.∴所求最小值即为A,F两点间的距离.

学以致用3.(1)若点M(x,y)满足,则动点M的轨迹是()A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线(2)已知M是抛物线y2=-4x上的一个动点,直线l:x+y-5=0,抛物线的焦点为F,若点M到抛物线准线的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()答案:(1)D(2)B

解析:(1)依题意,动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3x+4y-1=0的距离,且(0,0)不在直线3x+4y-1=0上,因此动点M的轨迹是抛物线.(2)由抛物线的定义可知,d1=|MF|,所以d1+d2=|MF|+d2,由点F向直线l作垂线,垂足为N,则当F,M,N共线时,|MF|+d2取得最小值,且最小值为|FN|,

四抛物线的实际应用典例剖析4.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管|OP|=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计多长?(精确到1m)

解:如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p0).依题意有点P(-1,-1)在此抛物线上,

学以致用4.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m时,水面宽为8m,一木船宽4m,高2m,载货后木船露在水面上的部分高为,问水面上涨到与拱顶相距多少米时,木船开始不能通航?解:以拱顶为坐标原点,拱高所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.

设抛物线的方程为x2=-2py(p0),由题意知,点A(4,-5)在抛物线x2=-2py(p0)上,∴16=-2p×(-5),设水面上涨到使木船两