大招24极值点偏移(含答案解析）.docx

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大招24??极值点偏移

1．极值点偏移基本定义：

众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点．如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：

①若，则称为极值点左偏；②若，则称为极值点右偏．

2．极值点偏移几种常考类型：

（1）若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；

（2）若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；

（3）函数存在两个零点且，令，求证：；

（4）若函数中存在且满足，令，求证：．

3．极值点偏移的解题方法

对于“已知函数的极值点为，且函数图象与直线交于，两点，去判断与的大小关系”的问题来说，我们构建函数，再分析函数的单调性即可．

如果需要判断与的大小关系，则就需要判断与的大小关系，也就需要判断与的大小关系．而，因此就需要判断与0的大小关系，于是就构建函数，再分析函数的单调性即可．

同理，要判断与的大小关系，需要构建函数，再分析函数的单调性即可．

【典例1】已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若为两个不相等的实数，且满足，求证：．

【大招指引】（1）求导，然后根据导函数的正负来判断得单调性；

（2）将变形为得到，然后构造函数，根据得单调性和得到，最后根据和得单调性即可证明．

【解析】（1），

令，解得，令，解得，

所以的增区间为，减区间为．

（2）证明：将两边同时除以得，

即，所以，

由（1）知在上单调递增，在上单调递减，

又，，当时，，

设，则，

令，

则，

由得，所以，，

所以，在上单调递增，

又，所以，

当时，，即，

即，又，所以，

又，，在上单调递减，

所以，即．

【题后反思】对称化构造函数法构造辅助函数是解决极值点偏移的常见方法，如本题中构造函数．

【温馨提醒】处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：

①求导确定的单调性，得到的范围；

②构造函数，求导可得恒正或恒负；

③得到与的大小关系后，将置换为；

④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论．

【举一反三】

1．已知函数恰有两个零点．

(1)求的取值范围；

(2)证明：．

【典例2】设函数．

（1）若，求函数的最值；

（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．

【大招指引】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解；

（2）由有两个极值点，从而要证，

令，构建函数，然后利用导数求解的最值，

从而可求解证明．

【解析】（1）由题意得，则．

令，解得；令，解得，

在上单调递增，在上单调递减，

，

无最小值，最大值为．

（2），则，

又有两个不同的极值点，

欲证，即证，

原式等价于证明①．

由，得，则②．

由①②可知原问题等价于求证，

即证．

令，则，上式等价于求证．

令，则，

恒成立，在上单调递增，

当时，，即，

原不等式成立，即．

【题后反思】比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，是解决极值点偏移的常见方法，如本题中令，构造函数

．

【温馨提醒】利用比值法解决极值点偏移问题的一般思路：

对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系，然后构造商数或加数关系；

通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，

利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立．

【举一反三】

2．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若有两个零点，，且，求证：．

3．已知函数.

(1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;

(2)若函数有两个极值点,证明：.

4．已知函数.若有两个零点，证明：.

5．已知定义在上的函数．

（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；

（2）若，，，为的极小值，求证：．

6．已知函数，．

（1）若在定义域内是减函数，求的最小值；

（2）若有两个极值点分别是，，证明：．

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参考答案：

1．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求导得到f′x，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则最小值小于，得到的范围；

（2）由（1）的结论，构建函