大招23隐极值点代换(含答案解析）.docx

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大招23隐极值点代换

对于一些证明不等式，（或，）的问题，我们可以先将函数求导后得，于是函数的极值点就满足，解出，进而能求出极值，确定的值域，进而判断不等式，（或，）是否成立．

然而前方的路哪能一帆风顺，如果方程很难解或者压根没法解，怎么办？实际上我们一定要把极值的具体值求出来吗？也不一定，其实只要确定出极值的取值范围就行．虽然很难解，但是我们又知道存在一个这样的，此时我们可以把称为隐极值点，并采取隐极值点代换的方法处理，步骤如下：

第一步：求导后得到．

第二步：根据代换掉参数或对极值的表达式进行转化，得到一个仅含有，形式简单且容易求取值范围的式子．

第三步：根据隐极值点的取值范围，确定极值的取值范围，进而证明不等式．

【典例1】设函数．

（1）求的单调区间；

（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．

【大招指引】

（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性；（2）进行分离常数得到，再构造函数，进而求导求得函数的最小值即可.

【解析】（1）函数的定义域是，，

若，则，所以函数在上单调递增．

若，则当时，；

当时，；

所以，在单调递减，在上单调递增．

（2）由于，所以

故当时，等价于①

令，则

由（1）知，当时，函数在上单调递增，

而（1），（2），

所以在上存在唯一的零点，

故在上存在唯一的零点，设此零点为，则有

当时，；当时，；

所以在上的最小值为．

又由，可得，所以，

由于①式等价于，故整数的最大值为2．

【题后反思】解决本题的关键是将当时，等价转化为.

【温馨提醒】分离参数法是处理不等式恒成立或能成立的常用方法，合理分离，将问题转化为求函数的最值问题.

【典例2】(1)讨论函数的单调性，并证明当时，

(2)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.

【大招指引】（1）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性，进而通过最值证明不等式成立；（2）求导，利用（1）结论判定的单调性，进而求出最值，再利用导数求其最值.

【解析】⑴证明：

∵当时，

∴在上单调递增

∴时，

∴

⑵

由(1)知，当时，的值域为，

只有一解．使得，

当时，单调减；当时，单调增

记，在时，，∴单调递增

∴．

【题后反思】解决本题（2）问判定的符号时，要注意（1）问结论的应用.

【温馨提醒】在处理函数的值域或最值问题时，往往要二次求导或求导后再部分求导，即隐极值代换方法.

【典例3】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行.

(1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由;

(2)当时,恒成立，求的取值范围.

【大招指引】（1）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间；（2）求导，利用二分法得到存在使得，再合理放缩进行证明.

【解析】（1）.∵f(1)=1+b=3,∴b=2,则f(x)=lnx+4x-1.

因为在单调递增，所以当时

即函数f(x)在区间单调递减；当时

即函数f(x)在区间单调递增；

（2）因为，而在（0，1）上递增，

存在使得

，当时，，单调递减；

当时，，单调递增

所以

又因为时则

所以则

【题后反思】解决本题（2）问的关键是利用二分法得到存在使得，再合理放缩进行证明.

【温馨提醒】处理不等式恒成立问题，往往转化为求函数的最值问题，如本题中，要证恒成立，即证.

1．已知函数的图象在处的切线方程为：．

（1）求和的值；

（2）求证：．

2．设函数.

（Ⅰ）讨论f(x)的导函数的零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时.

3．已知函数，，若，求的取值范围.

4．已知函数，当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.

5．已知函数对任意的恒成立，其中实数，求的取值范围.

6．已知函数，且.

(1)求a；

(2)证明：存在唯一的极大值点，且.

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参考答案：

1．（1），；（2）证明见解析．

【分析】（1）先对函数求导，然后由题意结合导数的几何意义可得，从而可求出和的值；

（2）由（1）可得，对此导函数再求导可判断，从而可得在定义域上递增，而，，故存在使得，此时f(x)在上递减，在上递增，从而可得，构造函数，再利用导数求其最小值即可

【详解】解：（1），

由题可知，，

即：，

解得：，．

（2）由（1）可知：，则，

设函数，则，所以在定义域上递增，

则，所以在定义域上递增，

又，，故存在使得，

即，

此时f(x)在上递减，在上递增，所以

设，，，，

所以在，则