专题1.8 正方形半角模型（强化）（解析版）.pdf

专题1.8正方形半角模型

【例题精讲】

【例1】在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且ÐEAF=ÐCEF=45°．

（1）将DADF绕着点A顺时针旋转，得到（如图①，求证；

90°DABG)DAEG@DAEF

（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，（如图②，求证

N)

222

EF=ME+NF．

【解答】（1）证明QDADF绕着点A顺时针旋转90°，得到DABG，

\AG=AF，BG=DF，ÐGAF=90°，ÐBAG=ÐDAF，

QÐEAF=45°，

\ÐBAE+ÐDAF=ÐBAE+ÐBAG=90°-45°=45°，

即ÐGAE=ÐEAF，

AG=AF

ì

ï

\在DAEG和DAEF中，ÐGAE=ÐEAF，

í

ï

AE=AE

î

\DAEG@DAEF(SAS)；

（2）证明：连接G，如图所示

Q四边形ABCD是正方形，

\AB=BC=CD=AD，ÐC=90°，

QÐCEF=45°

\CE=CF，DF=DN，BM=BE，

QBC=CD，

\BE=DF，

QBG=DF，

\BG=DF=BE=BM，

\ÐBMG=45°，

QÐEMB=45°，

\ÐEMG=90°，

\MG=2BM，

同理NF=2DF，

\MG=NF，

22222

\EG=MG+ME=NF+ME，

QDAEG@DAEF，

\EG=EF，

222

\EF=ME+NF．

【题组训练】

1．如图，等边DAEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且ÐCEF=45°．求证

矩形ABCD是正方形．

【解答】解Q四边形ABCD是矩形，

\ÐB=ÐD=ÐC=90°，

QDAEF是等边三角形，

\AE=AF，ÐAEF=ÐAFE=60°，

QÐCEF=45°，

\ÐCFE=ÐCEF=45°，

\ÐAFD=ÐAEB=180°-45°-60°=75°，

\DAEB@DAFD(AAS)，

\AB=AD，

\矩形ABCD是正方形．

2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ÐEAF=45°．

（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（2），若AH^EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）解BE+DF=EF；理由如下

如图1，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，

Q在DGDA和DEBA中，

DG=BE

ì

ï

íÐGDA=ÐABE=90°，

ï

AD=AB

î

\DGDA