12高中数学新教材课堂导学案（直线与椭圆的关系及中点弦问题）及答案.doc

课堂导学

（直线与椭圆的关系及中点弦）

【知识点】

一、直线与二次曲线的相交弦长公式

如下图，已知直线与某二元曲线交于，，请推导出公式③

解：因为，两点在直线上

所以，

由两点距离公式，得

或者

总结：（1）公式③,中的“”表示横向的距离，如图

（2）公式④同理可得；

（3）公式③与④在直线与一般二次曲线相交于两点的情况下都可用；

（4）公式③与④的作用在于转移计算，最后用韦达定理把一元二次方程的系数代入，

为此，我们可以有以下进一步的变形

所以公式进化为：

③

④

其中，

其中，、、指的是直线与曲线方程联立消元后的一元二次方程的对应系数.

二、中点弦问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

在椭圆（）中，以为中点的弦所在直线的斜率为，则；

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.

【典例】

例1.直线与椭圆交于，两点，

（1）则；

（2）线段的中点坐标是．

【思路探析】

此题把例1中的圆方程改为椭圆方程，前面所说的三种方法中，解法二和解法三都不行，用解法一会发现两交点的横坐标为，解法一也不好用，这时候得用公式

③

④

解：设，

由，消元得

,

代入公式得

例2．已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组有解．因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式．已知弦长，由弦长公式就可求出．

解：（1）把直线方程代入椭圆方程得

，即．

，

解得．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得

，．

根据弦长公式得

．解得．

因此，所求直线的方程为．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例3．已知椭圆，求过点且被平分的弦所在直线的方程；

例4．已知：直线和椭圆相交于A，B两点．

（1）使=；

（2）问是否存在实数，使以A，B为直径的圆过原点，若存在，请求出，若不存在，请说明；

（3）记直线和轴交于点P，若，求的值．

解：设，，联立，消元得

由韦达定理得，，

由相交弦长公式公式，且=

所以，化简得

即，解得或

（2）题意等价于，即，即

因为，

所以，即

代入韦达定理：

化简得：，无解，所以不存在.

（3）因为，则不妨令，联立韦达定理，解得.

【作业】

1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的交点个数为（???????）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆的方程求得其右顶点为，上顶点为，结合直线的截距式方程，即可求解.

【详解】

由题意，椭圆，可得，

则椭圆的右顶点为，上顶点为，

又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.

故选：C.

2．（2022·福建·莆田一中高二期末）直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.

【详解】

由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.

故选：A.

3．已知点是椭圆内的一点，直线过且与椭圆交于、两点，则当是线段中点时，直线的方程为（C）

AB

CD

二、填空题

4．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.

【答案】相交

【解析】

【分析】

确定直线所过定点坐标，由定点与椭圆的位置关系得直线与椭圆的位置关系，

【详解】

由已知直线过定点，在椭圆内部（为椭圆的右焦点，椭圆中），所以直线与椭圆相交．

故答案为：相交．

5.直线与圆交于，两点，

则，两点的坐标为，．

6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线与椭圆C：有唯一的公共点，则实数m的值为．

【答案】5或

【解析】

【分析】

联立直线与椭圆的的方程，消元后利用判别式等于0求解即可.

【详解】

由消元得：

因为直线与椭圆有唯一的公共点，

所以，

解得.