模块三大招10对数平均不等式(含答案解析）.pdf

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大招对数平均不等式

1．对数平均不等式内容和证明：

ab

(ab),

abL(a,b)lnalnb

两个正数和的对数平均定义：，对数平均与算术平均

a(ab).



ab

､几何平均的大小关系：abL(a,b)，结合基本不等式链便有：

2

abba2

bababa0

11

2lnblna.



ab

（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当ab时，等号成立．

ab

证明如下：不失一般性，可设．

（1）先证：abL(a,b)……①

abaab1a

不等式①lnalnbln2lnxx（其中x1）

abbbaxb

12112

构造函数f(x)2lnx(x),(x1)，则f(x)12(1)．

xxxx

x1f(x)0f(x)(1,)f(x)f(1)0

因为时，，所以函数在上单调递减，故，从

而不等式①成立.

ab

（2）再证：L(a,b)……②

2

a

2(1)

2(ab)ab2(x1)a

lnalnblnlnxx1

不等式②（）

abba(x1)b

(1)

b